Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Mohrscher Kreis · Hauptspannungen · ebener Spannungszustand
Kostenlose Übungsaufgaben zu Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Hauptspannungen, maximale Schubspannung und Hauptrichtung, Spannung in einem geneigten Schnitt.
Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation von Grund auf lernen
Davor: Normalspannung und Dehnung
1Warum die Spannung von der Richtung abhängt
In der Lektion zur Axialbelastung war die Spannung eine einzige Zahl: Kraft pro Fläche. Aber die Spannung an einem Punkt hängt von der Richtung des Schnitts ab, den du betrachtest.
Verdrehe ein Stück Kreide, bis es bricht. Es bricht entlang einer Spirale unter 45°, nicht gerade quer. In dieser 45°-Ebene ist die Zugspannung am größten, und Kreide ist gegen Zug schwach.
Um die Spannung an einem Punkt zu beschreiben, zeichnen Ingenieure ein winziges Quadrat, das Spannungselement, mit den Spannungen auf seinen Flächen:
- σx und σy sind Normalspannungen, senkrecht zu den Flächen. Positiv bedeutet Zug (Pfeile zeigen nach außen), negativ bedeutet Druck.
- τxy ist die Schubspannung, entlang der Flächen. Sie versucht, das Quadrat zu einer Raute zu verformen.
Drehst du das Quadrat, ändern sich die Spannungen auf seinen Flächen. Diese Lektion zeigt, wie du sie für jede Richtung bestimmst und welche Richtungen die gefährlichsten sind.
Selbsttest An einem Punkt ist σx = −40 MPa. Was bedeutet das?
- Ein Druck von 40 MPa in x-Richtung
- Ein Druck von 40 MPa in y-Richtung
- Ein Zug von 40 MPa in x-Richtung
- Eine Schubspannung von 40 MPa
Antwort: Ein Druck von 40 MPa in x-Richtung. Nach der üblichen Vorzeichenregel ist Zug positiv, ein negatives σx ist also Druck, der auf die Flächen senkrecht zu x wirkt.
2Mohrscher Spannungskreis
Der Mohrsche Kreis ist ein Bild aller Richtungen auf einmal. Jeder Punkt auf dem Kreis ist ein möglicher Schnitt durch den Punkt im Bauteil.
Trage die Normalspannung σ nach rechts und die Schubspannung τ nach oben auf. Zeichne dann zwei Punkte ein:
- Punkt x bei (σx, τxy): die Spannungen auf der Fläche senkrecht zu x,
- Punkt y bei (σy, −τxy): die Spannungen auf der Fläche senkrecht zu y.
Der Kreis geht durch beide Punkte. Sein Mittelpunkt C liegt auf der σ-Achse, genau zwischen ihnen. Sein Radius R folgt aus dem Satz des Pythagoras:
C = (σx + σy) / 2 R = √( ((σx − σy)/2)² + τxy² )
Dort, wo der Kreis die σ-Achse schneidet, ist die Schubspannung null. Diese beiden Werte sind die Hauptspannungen, die größte und die kleinste Normalspannung am Punkt. Der höchste Punkt des Kreises ist die größte Schubspannung in der Ebene:
σ1 = C + R σ2 = C − R τmax = R
Selbsttest σx = 50 MPa, σy = 10 MPa und τxy = 15 MPa. Wie groß ist σ1?
- 45 MPa
- 50 MPa
- 55 MPa
- 65 MPa
Antwort: 55 MPa. C = 30 MPa und R = √(20² + 15²) = 25 MPa, also σ1 = 55 MPa. 65 addiert 20 + 15, statt den Satz des Pythagoras zu verwenden; 50 ignoriert die Schubspannung.
3Winkel: auf dem Kreis verdoppelt
Drehst du das Element um einen Winkel θ, wandert sein Punkt auf dem Mohrschen Kreis um 2θ in dieselbe Richtung. Gegen den Uhrzeigersinn ist positiv.
Die Richtung von σ1 ist der Winkel θp von der x-Achse und ergibt sich aus:
tan 2θp = 2τxy / (σx − σy)
Achte auf den Quadranten. Ist σx − σy negativ, addiere 180° zu 2θp, wenn τxy > 0 ist, oder subtrahiere 180°, wenn τxy < 0 ist. Halbiere dann.
Die Ebenen der maximalen Schubspannung liegen 45° neben den Hauptrichtungen (90° auf dem Kreis).
Für eine Ebene, deren Normale um θ von der x-Achse gedreht ist, gelten die Spannungen:
σθ = C + (σx − σy)/2 · cos 2θ + τxy · sin 2θ
τθ = −(σx − σy)/2 · sin 2θ + τxy · cos 2θ
Selbsttest An einem Punkt ist tan 2θp = 1 und σx − σy ist positiv. Wie groß ist θp?
- 22,5°
- 45°
- 90°
- −67,5°
Antwort: 22,5°. 2θp = 45°, also θp = 22,5°. Die Antwort 45° vergisst, den Winkel vom Kreis zu halbieren. −67,5° ist die Richtung von σ2, 90° daneben.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
- Schreibe σx, σy und τxy mit ihren Vorzeichen auf: Zug positiv, Druck negativ.
- Bestimme den Mittelpunkt C = (σx + σy)/2.
- Bestimme den Radius R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Hauptspannungen: σ1 = C + R und σ2 = C − R. Größte Schubspannung in der Ebene: τmax = R.
- Richtungen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy), den Quadranten prüfen, dann halbieren.
- Für eine gegebene Ebene θ: Verwende die Gleichungen für σθ und τθ mit 2θ.
Eine kurze Skizze des Kreises, auch eine grobe, zeigt dir die Vorzeichen und welcher Punkt σ1 ist.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes BeispielEin Punkt hat σx = 80 MPa, σy = 20 MPa und τxy = 40 MPa. Bestimme die Hauptspannungen, τmax, die Richtung θp von σ1 und die Normalspannung auf einer um 45° gegen den Uhrzeigersinn gedrehten Ebene.
1Beide Normalspannungen sind Zug. Die Schubspannung ist positiv.
2C = (80 + 20) / 2 = 50 MPa
R = √(30² + 40²) = 50 MPa
3σ1 = 50 + 50 = 100 MPa σ2 = 50 − 50 = 0 MPa
τmax = R = 50 MPa
4tan 2θp = 2 · 40 / (80 − 20) = 1,333
σx − σy ist positiv, es ist also keine Korrektur nötig: 2θp = 53,1° und θp = 26,6° gegen den Uhrzeigersinn von x aus.
5Mit θ = 45° ist 2θ = 90°: cos 2θ = 0 und sin 2θ = 1.
σθ = 50 + 30 · 0 + 40 · 1 = 90 MPa
6Die Summe σx + σy = 100 MPa ist gleich σ1 + σ2 = 100 MPa. Diese Summe ist bei jeder Drehung gleich, sie ist also eine schnelle Kontrolle.
Außerdem liegen 90 MPa zwischen σ2 = 0 und σ1 = 100 MPa, wie es bei jeder Normalspannung sein muss.
Antwort σ1 = 100 MPa, σ2 = 0, τmax = 50 MPa, θp = 26,6° und σ45° = 90 MPa.
6Häufige Fehler
- (σx − σy)/2 und τxy direkt addieren. Der Radius verbindet sie mit dem Satz des Pythagoras.
- θ statt 2θ in den Transformationsgleichungen verwenden oder vergessen, den am Kreis abgelesenen Winkel zu halbieren.
- Ein Minuszeichen weglassen: Eine Druckspannung muss als negative Zahl eingesetzt werden.
- Punkt y bei (σy, +τxy) einzeichnen. Er liegt bei −τxy, auf der entgegengesetzten Seite des Mittelpunkts von x.
- Den Quadranten von 2θp übersehen, wenn σx < σy ist.
Selbsttest σx = 60 MPa, σy = 0 und τxy = 40 MPa. Wie groß ist die maximale Schubspannung in der Ebene?
- 30 MPa
- 40 MPa
- 50 MPa
- 70 MPa
Antwort: 50 MPa. τmax = R = √(30² + 40²) = 50 MPa. 70 addiert 30 + 40; 30 ignoriert die Schubspannung; 40 ist nur τxy.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
- Leicht: Hauptspannungen. Bestimme aus σx, σy und τxy die Spannung σ1 oder σ2. Varianten: reiner Schub oder ein Zugstab, der unter einem Winkel geschnitten wird.
- Mittel: maximale Schubspannung und Hauptrichtung. Bestimme τmax = R oder den Winkel θp zwischen −90° und 90°.
- Schwer: Spannung auf einer geneigten Ebene. Verwende die Gleichung für σθ oder τθ mit 2θ. Varianten kombinieren Axiallast und Torsion oder verwenden die Hauptspannungen in einem Versagensnachweis wie von Mises oder Tresca.
Schreibe zuerst C und R auf. Fast jede Frage in diesem Thema lässt sich mit diesen beiden Zahlen beantworten.
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