Mechanische Schwingungen: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Kostenlose Übungsaufgaben zu Mechanische Schwingungen mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Eigenfrequenz, Dämpfungsgrad, Federn in Reihe und parallel.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Eine Maschine steht auf Federelementen, die unter ihrem Gewicht um 15 mm zusammengedrückt werden. Betrachte sie als ungedämpftes System mit einem Freiheitsgrad und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Eigenfrequenz fn der vertikalen Schwingung in Hz.
Hänge eine Masse an eine Feder, ziehe sie ein Stück nach unten und lass los. Sie federt um ihre Ruhelage auf und ab. Diese sich wiederholende Bewegung ist eine Schwingung.
Jedes solche System hat seinen eigenen bevorzugten Rhythmus, die Eigenfrequenz. Sie hängt nur davon ab, wie steif die Feder und wie schwer die Masse ist, nicht davon, wie weit du gezogen hast.
Ingenieure interessiert das, weil eine Maschine, die mit ihrer Eigenfrequenz angeregt wird, heftig schwingen kann. Das nennt man Resonanz. Motorlager, Waschmaschinen und Brücken werden alle mit Rücksicht darauf ausgelegt.
Eine steifere Feder macht die Schwingung schneller. Eine schwerere Masse macht sie langsamer.
Selbsttest Du ersetzt die Masse an einer Feder durch eine viermal so schwere. Was geschieht mit der Eigenfrequenz?
Er bleibt gleich
Sie halbiert sich
Sie verdoppelt sich
Sie wird viermal kleiner
Antwort: Sie halbiert sich. Die Frequenz hängt von √(k/m) ab. Die vierfache Masse teilt die Wurzel durch √4 = 2, die Frequenz halbiert sich also.
2Eigenfrequenz und Federkombinationen
Für eine Masse m (kg) an einer Feder der Steifigkeit k (N/m) ist die Eigenkreisfrequenz in rad/s:
ωn = √(k / m)
Ein voller Zyklus sind 2π Radiant. Die Eigenfrequenz in Hertz (Zyklen pro Sekunde) und die Periodendauer (Sekunden pro Zyklus) sind also:
fn = ωn / (2π) T = 1 / fn
Manchmal kennst du nur, wie weit die Feder unter dem Gewicht durchhängt, die statische Durchbiegung δst = m·g/k. Dann gilt ωn = √(g / δst), mit δst in Metern.
Gibt es mehrere Federn, ersetze sie zuerst durch eine Ersatzfeder:
Nebeneinander (parallel) teilen sich die Federn die Last, und die Steifigkeiten addieren sich.
Hintereinander (in Reihe) nimmt jede Feder die volle Last auf, und die Ersatzfeder ist weicher als jede einzelne.
Selbsttest Zwei Federn von je 10 kN/m sind hintereinander (in Reihe) geschaltet. Wie groß ist die Ersatzsteifigkeit?
10 kN/m
100 kN/m
20 kN/m
5 kN/m
Antwort: 5 kN/m. 1/k = 1/10 + 1/10 = 2/10, also k = 5 kN/m. Die Addition zu 20 kN/m ist die Regel für parallele Federn.
3Dämpfung
Reale Schwingungen klingen ab. Ein Dämpfer (ein Kolben, der sich durch Öl bewegt, wie ein Stoßdämpfer im Auto) entzieht Energie. Seine Stärke ist die Dämpfungskonstante c in N·s/m.
Die kritische Dämpfung ist die Dämpfung, die die Masse gerade eben am Nachschwingen hindert:
cc = 2 · √(k · m) = 2 · m · ωn
Das Dämpfungsmaß vergleicht die tatsächliche Dämpfung mit diesem kritischen Wert:
ζ = c / cc
ζ < 1: schwach gedämpft. Die Masse schwingt noch, aber die Ausschläge schrumpfen.
ζ = 1: kritisch gedämpft. Sie kehrt so schnell wie möglich ohne Überschwingen zur Ruhe zurück.
ζ > 1: überkritisch gedämpft. Sie kriecht langsam zurück, ohne zu schwingen.
Ein schwach gedämpftes System schwingt etwas langsamer als das ungedämpfte, mit der gedämpften Eigenfrequenz:
ωd = ωn · √(1 − ζ²)
Selbsttest Eine Masse von 10 kg sitzt auf einer Feder mit 1000 N/m mit einem Dämpfer von c = 50 N·s/m. Wie groß ist das Dämpfungsmaß?
0,25
0,5
2,5
4
Antwort: 0,25. cc = 2·√(1000 · 10) = 200 N·s/m, also ζ = 50/200 = 0,25. Vergisst man den Faktor 2, erhält man 0,5, und teilt man umgekehrt, erhält man 4.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
Rechne alles in SI-Einheiten um: kN/m in N/m (× 1000), mm in m, Gramm in kg.
Gibt es mehrere Federn, fasse sie zu einem k zusammen: parallel addieren, in Reihe die Kehrwerte addieren.
Bestimme ωn = √(k/m) in rad/s.
Fragt die Aufgabe nach Hertz, teile durch 2π: fn = ωn/(2π). Für die Periodendauer nimm T = 1/fn.
Bei Dämpfung bestimme cc = 2·√(k·m), dann ζ = c/cc und, falls gefragt, ωd = ωn·√(1 − ζ²).
Halte ω (rad/s) und f (Hz) auseinander. Sie unterscheiden sich um den Faktor 2π ≈ 6,28, und sie zu verwechseln ist der häufigste Weg, Punkte zu verlieren.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes Beispiel
Eine Masse von 50 kg hängt an einer Feder mit einer Steifigkeit von 20 kN/m. Vernachlässige die Dämpfung. Bestimme die Eigenfrequenz fn in Hz und die Schwingungsdauer.
1
Zeichnen und umrechnen
Die Steifigkeit muss in N/m angegeben werden: k = 20 kN/m = 20 000 N/m. Die Masse ist bereits in kg.
2
Eigenkreisfrequenz
ωn = √(k / m) = √(20 000 / 50) = √400 = 20 rad/s
3
In Hertz umrechnen
Teile durch 2π, um volle Zyklen pro Sekunde zu zählen:
fn = 20 / (2π) = 3,18 Hz
4
Die Periodendauer
T = 1 / fn = 1 / 3,183 = 0,314 s
Die Masse macht etwas mehr als drei volle Auf-und-ab-Zyklen pro Sekunde.
5
Antwort prüfen
Die statische Durchbiegung ist δst = m·g/k = 50 · 9,81 / 20 000 = 0,0245 m.
ωn = √(9,81 / 0,0245) = 20 rad/s
Dieselben 20 rad/s, auf anderem Weg gefunden. Die Antwort stimmt.
6
Weiter gehen: einen Dämpfer hinzufügen
Mit einem Dämpfer von c = 400 N·s/m: cc = 2·√(20 000 · 50) = 2000 N·s/m, also ζ = 400/2000 = 0,2.
ωd = 20 · √(1 − 0,2²) = 19,6 rad/s, fd = 3,12 Hz
Antwort
fn ≈ 3,18 Hz (ωn = 20 rad/s), und die Periodendauer ist T ≈ 0,314 s.
6Häufige Fehler
ωn in rad/s angeben, wenn die Aufgabe nach fn in Hz fragt, oder umgekehrt.
Die Steifigkeit in kN/m lassen. Die Formel braucht N/m.
Federn in Reihe addieren, als wären sie parallel.
Die 2 in cc = 2·√(k·m) vergessen.
Die Gewichtskraft m·g statt der Masse m in ωn = √(k/m) verwenden.
Selbsttest Eine Masse von 4 kg hängt an einer Feder mit 400 N/m. Wie groß ist ihre Eigenfrequenz in Hz?
0,05 Hz
1,59 Hz
10 Hz
62,8 Hz
Antwort: 1,59 Hz. ωn = √(400/4) = 10 rad/s, und fn = 10/(2π) = 1,59 Hz. Bei 10 aufzuhören ergibt rad/s, nicht Hz; die Multiplikation mit 2π ergibt 62,8; mit 0,4 (kN/m) erhält man 0,05 Hz.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: Eigenfrequenz. Eine Masse an einer Feder: Bestimme ωn in rad/s oder fn in Hz. Manche Aufgaben geben nur die statische Durchbiegung einer Maschine auf ihren Lagern an.
Mittel: Dämpfungsmaß. Bestimme ζ aus m, k und c oder die gedämpfte Frequenz fd aus einem gegebenen ζ. Andere geben zwei Spitzen aus einem Ausschwingversuch an.
Schwer: Federn in Reihe und parallel, manchmal beides (zwei nebeneinander liegende Federn halten einen Balken, mit einer dritten Feder darunter). Bestimme zuerst keq, dann fn.
Für zwei Spitzen x0 und xn im Abstand von n Zyklen verwende das logarithmische Dekrement:
Eine Masse von 40 kg hängt an einer Feder mit einer Steifigkeit von 15 kN/m. Vernachlässige die Dämpfung. Bestimme die Eigenfrequenz fn in Hz.
m = 40 kgk = 15 kN/m
Gesucht: fn(Hz)
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Rechne in SI-Einheiten: k in N/m.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
k = 15000 N/m.
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Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Eigenkreisfrequenz
ωn = √(k/m) = √(15000/40) = 19,36 rad/s
In Hertz
fn = ωn/(2π) = 19,36/(2π) = 3,082 Hz
Antwort
fn = 3,082 Hz
Beispiel 2Mittel
Eine Masse von 10 kg an einer Feder mit einer Steifigkeit von 50 kN/m hat einen viskosen Dämpfer, der einen Dämpfungsgrad von 0,4 ergibt. Bestimme die gedämpfte Eigenfrequenz fd ihrer freien Schwingung in Hz.
m = 10 kgk = 50 kN/mζ = 0,4
Gesucht: fd(Hz)
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Bestimme zuerst die ungedämpfte Eigenfrequenz.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
fd = fn·√(1 − ζ²).
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Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Ungedämpfte Eigenfrequenz
ωn = √(50000/10) = 70,71 rad/s
fn = 70,71/(2π) = 11,25 Hz
Gedämpfte Eigenfrequenz
fd = fn·√(1 − ζ²) = 11,25·√(1 − 0,4²) = 10,31 Hz
Antwort
fd = 10,31 Hz
Beispiel 3Schwer
Eine Masse von 5 kg hängt an zwei hintereinander (in Reihe) geschalteten Federn: Die obere Feder hat k₁ = 80 kN/m, die untere k₂ = 20 kN/m. Bestimme die Ersatzsteifigkeit keq des Federsystems in kN/m.
m = 5 kgk1 = 80 kN/mk2 = 20 kN/m
Gesucht: keq(kN/m)
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Parallele Federn haben denselben Weg: Die Steifigkeiten addieren sich. Federn in Reihe übertragen dieselbe Kraft: Die Nachgiebigkeiten 1/k addieren sich.
1/keq = 1/k₁ + 1/k₂.
keq < 20 kN/m.
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Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Ersatzsteifigkeit
Federn in Reihe übertragen dieselbe Kraft, und ihre Wege addieren sich, daher werden die Kehrwerte addiert: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
Hänge eine Masse an eine Feder, ziehe sie ein Stück nach unten und lass los. Sie federt um ihre Ruhelage auf und ab. Diese sich wiederholende Bewegung ist eine Schwingung.
Jedes solche System hat seinen eigenen bevorzugten Rhythmus, die Eigenfrequenz. Sie hängt nur davon ab, wie steif die Feder und wie schwer die Masse ist, nicht davon, wie weit du gezogen hast.
Mechanische Schwingungen: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Freie Schwingung eines Feder-Masse-Systems: Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz ist ωn = √(k/m) in rad/s, und fn = ωn/(2π) in Hz. Ein viskoser Dämpfer c ergibt den Dämpfungsgrad ζ = c/cc, mit der kritischen Dämpfung cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Ein unterkritisch gedämpftes System (ζ < 1) schwingt mit ωd = ωn·√(1 − ζ²). Parallele Federn addieren sich, k = k₁ + k₂; bei Federn in Reihe addieren sich die Kehrwerte, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Mechanische Schwingungen: Welche Fehler passieren am häufigsten?
Das ist ωn in rad/s. Teile durch 2π, um die Frequenz in Hz zu erhalten.
Rechne kN/m in N/m um (mit 1000 multiplizieren), bevor du ωn = √(k/m) verwendest.
Teile ωn durch 2π, um Hz zu erhalten; nicht multiplizieren.
Mechanische Schwingungen: Was wird geübt?
Leicht: Eigenfrequenz
Mittel: Dämpfungsgrad
Schwer: Federn in Reihe und parallel
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.