Federn & Pendel: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

1Was eine Schwingung ist

Ziehe eine Masse an einer Feder zur Seite und lass los. Sie schwingt an der Mitte vorbei zur anderen Seite und wieder zurück. Ein Kind auf einer Schaukel und eine Gitarrensaite tun dasselbe.

Diese sich wiederholende Bewegung ist eine Schwingung. Der Mittelpunkt, an dem die Masse ruhen würde, ist die Gleichgewichtslage.

• Die Amplitude A ist der größte Abstand von der Gleichgewichtslage, in m.
• Die Periodendauer T ist die Zeit für eine vollständige Schwingung, hin und zurück, in s.
• Die Frequenz f ist die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde, in Hertz (Hz).

2Harmonische Schwingung

Eine Feder zieht mit einer Kraft zurück, die proportional zur Dehnung ist: F = −k·x. Die Steifigkeit k wird in N/m angegeben. Das Minuszeichen bedeutet, dass die Kraft immer zur Gleichgewichtslage zeigt.

Eine solche Rückstellkraft ergibt eine harmonische Schwingung. Die Position folgt zeitlich einer Kosinuskurve:

Die Kreisfrequenz ω (Omega) in rad/s bestimmt, wie schnell sich die Bewegung wiederholt. Eine Periode ist 2π rad.

Die Amplitude ändert die Periodendauer nicht. Ein größerer Ausschlag legt eine größere Strecke zurück, bewegt sich aber auch schneller.

3Formeln für Feder und Pendel

Bei einer Masse an einer Feder schwingt eine schwerere Masse langsamer und eine steifere Feder schneller:

Bei einem einfachen Pendel der Länge L spielt bei kleinen Ausschlägen die Masse überhaupt keine Rolle:

Hängt eine Feder senkrecht, dehnt das Gewicht sie in eine neue Gleichgewichtslage: k·x = m·g. Damit bestimmst du k aus einer gemessenen Dehnung.

Die Geschwindigkeit ist in der Gleichgewichtslage am größten und an den Umkehrpunkten null. Die Beschleunigung ist an den Umkehrpunkten am größten, wo die Federkraft am größten ist:

Die Gesamtenergie bleibt gleich: E = ½·k·A². An einer Position x teilt sie sich auf in ½·k·x² + ½·m·v².

4Das Verfahren Schritt für Schritt

1. Rechne alles in SI-Einheiten um: Gramm in kg, Zentimeter in m.
2. Entscheide, um welches System es sich handelt: eine Masse an einer Feder (verwende k und m) oder ein Pendel (verwende L und g).
3. Sind die Periodendauer oder die Anzahl der Schwingungen gegeben, bestimme zuerst T: T = Zeit / Anzahl.
4. Bestimme ω aus dem System: ω = √(k/m) oder ω = 2π/T.
5. Verwende die Formel für das Gesuchte: T, f, v_max = A·ω, a_max = A·ω² oder die Energie ½·k·A².
6. Prüfe, ob die Antwort vernünftig ist: eine Periodendauer von einem Bruchteil einer Sekunde bei einer steifen Feder, einige Sekunden bei einem langen Pendel.

5Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

6Häufige Fehler

• Die Amplitude in cm statt in m verwenden.
• Den Bruch auf den Kopf stellen: T = 2π·√(m/k), nicht √(k/m). Beim Pendel ist es √(L/g).
• Das 2π vergessen oder ω (rad/s) und f (Hz) verwechseln.
• Denken, die Masse ändere die Periodendauer eines Pendels oder die Amplitude ändere irgendeine Periodendauer.
• v_max = A·ω und a_max = A·ω² verwechseln.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

• Leicht: eine Masse an einer Feder. Bestimme T, f oder k, manchmal aus einer Zählung der Schwingungen oder aus der Dehnung einer hängenden Feder durch die Masse.
• Mittel: das Pendel. Bestimme seine Periodendauer, die Länge für eine gegebene Periodendauer oder g auf einem anderen Planeten. Manche Aufgaben fragen nach der Geschwindigkeit an einer Position oder zu einem bestimmten Zeitpunkt.
• Schwer: Geschwindigkeit, Beschleunigung und Energie: v_max, a_max, die kinetische Energie an einer Position oder die Amplitude, nachdem ein Geschoss einen Block an einer Feder trifft.

Eine schnelle Kontrolle für jedes Pendel: Ein Pendel von 1 m Länge hat auf der Erde eine Periodendauer von etwa 2 s.