Kinematik: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

1Was Kinematik ist

Die Kinematik beschreibt, wie sich Dinge bewegen: wie schnell, wie weit und wie lange. Sie fragt nicht, warum sie sich bewegen. Das ist die Aufgabe der Kräfte und der newtonschen Gesetze.

In diesem Thema ist die Beschleunigung konstant. Ein Auto, das gleichmäßig schneller wird, ein Zug, der gleichmäßig bremst, und ein frei fallender Stein bewegen sich alle so.

Die Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit pro Sekunde. Geht ein Auto in einer Sekunde von 10 m/s auf 13 m/s, beträgt seine Beschleunigung 3 m/s² (Meter pro Sekunde, pro Sekunde).

Eine negative Beschleunigung bedeutet, dass der Körper in positiver Richtung langsamer wird. Bremsen ist eine negative Beschleunigung.

2Die fünf Größen

Jede Aufgabe in diesem Thema verwendet einige derselben fünf Größen. Lerne zuerst ihre Symbole und Einheiten.

• v₀: die Anfangsgeschwindigkeit in m/s. „Aus der Ruhe“ bedeutet v₀ = 0.
• v: die Endgeschwindigkeit in m/s. „Bis zum Stillstand“ bedeutet v = 0.
• a: die Beschleunigung in m/s². Konstant während der ganzen Bewegung.
• t: die Zeit in s.
• s: die Verschiebung (zurückgelegte Strecke in positiver Richtung) in m.

Geschwindigkeiten sind oft in km/h angegeben. Rechne sie vor dem Berechnen in m/s um:

Wähle eine positive Richtung, meist die Bewegungsrichtung. Eine Größe, die in die andere Richtung zeigt, bekommt ein Minuszeichen. Bei einem nach oben geworfenen Ball mit „oben“ als positiv ergibt die Schwerkraft a = −9,81 m/s².

3Die drei Gleichungen

Bei konstanter Beschleunigung verbinden drei Gleichungen die fünf Größen:

Jede Gleichung lässt eine Größe aus. Die erste hat kein s, die zweite kein v und die dritte kein t. Wähle die Gleichung, die die drei bekannten Größen und die gesuchte enthält.

Ein Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm zeigt, warum die Gleichungen funktionieren. Bei konstanter Beschleunigung ist der Graph eine Gerade, und die Fläche unter der Linie ist die Strecke.

Die Fläche dieser Form ist die mittlere Geschwindigkeit mal die Zeit: s = ½·(v₀ + v)·t. Diese vierte Form ist praktisch, wenn a nicht gegeben ist.

4Das Verfahren Schritt für Schritt

1. Zeichne eine schnelle Skizze und wähle die positive Richtung.
2. Liste v₀, v, a, t und s auf. Schreibe den Wert jeder bekannten Größe mit Vorzeichen auf und markiere die Unbekannte.
3. Rechne km/h in m/s und Minuten in Sekunden um.
4. Wähle die Gleichung, die deine drei bekannten Größen und die Unbekannte enthält.
5. Stelle um, setze die Zahlen ein und löse.
6. Prüfe, ob die Antwort sinnvoll ist: Ein bremsendes Auto fährt nicht rückwärts, und eine Zeit ist nie negativ.

Hat die Bewegung mehrere Abschnitte, löse sie nacheinander. Die Endgeschwindigkeit eines Abschnitts ist die Anfangsgeschwindigkeit des nächsten.

5Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

6Häufige Fehler

• Mit km/h statt m/s rechnen. Teile zuerst durch 3,6.
• Das ½ in s = v₀·t + ½·a·t² weglassen.
• Eine positive Beschleunigung für das Bremsen verwenden. Ist die Bewegung positiv, ist das Bremsen negativ.
• Das Minuszeichen von g bei einem nach oben geworfenen Körper vergessen, wenn „oben“ positiv ist.
• v₀ und v verwechseln: „aus der Ruhe“ setzt v₀ = 0, „kommt zum Stillstand“ setzt v = 0.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

• Leicht: schneller oder langsamer werden. Bestimme a, v oder s mit einer Gleichung, zum Beispiel ein Auto, das eine gegebene Zeit lang schneller wird, oder ein von einer Brücke fallen gelassener Stein.
• Mittel: Bremsen und Anfahren. Geschwindigkeiten in km/h, Bremszeit und Bremsweg, eine Reaktionszeit vor dem Bremsen oder ein Polizeiauto, das aufholt.
• Schwer: senkrechte Würfe und Bewegung in Abschnitten. Ein von einem Dach nach oben geworfener Ball, zwei Bälle, die sich treffen, eine Rakete oder eine Fahrt, die beschleunigt, gleichmäßig fährt und bremst.

Nimm bei senkrechter Bewegung „oben“ als positiv und verwende für den ganzen Flug a = −9,81 m/s². Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit für einen Augenblick 0.