Wellen, Schall & Optik: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Kostenlose Übungsaufgaben zu Wellen, Schall & Optik mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Wellengeschwindigkeit, Schallpegel und Brechung, stehende Wellen, Linsen und Doppler, Interferenz, Gitter, Spiegel und Glasfasern.
Wellen, Schall & Optik von Grund auf lernen
Davor: Federn & Pendel
1Was eine Welle ist
Eine Welle transportiert Energie von Ort zu Ort, ohne Materie mitzutragen: Das Medium schwingt nur. Auf einer Saite oder auf Wasser ist die Bewegung transversal (quer zur Ausbreitungsrichtung); Schall in Luft ist longitudinal (in Ausbreitungsrichtung).
Die Wellenlänge λ ist die Länge eines vollen Zyklus, die Periodendauer T die Zeit eines Zyklus und die Frequenz f = 1/T. In einer Periode legt die Welle eine Wellenlänge zurück, also:
v = fλ Saite: v = √(T/μ), μ = m/L
Schall in Luft breitet sich mit etwa 343 m/s aus, Licht mit c = 3,00 × 10⁸ m/s. Die Geschwindigkeit hängt vom Medium ab, nicht von der Frequenz.
Selbsttest Ein Schall von 686 Hz breitet sich mit 343 m/s aus. Wie groß ist seine Wellenlänge?
- 0,002 m
- 0,5 m
- 2 m
- 235 000 m
Antwort: 0,5 m. λ = v/f = 343/686 = 0,5 m. Teilt man andersherum, erhält man 2 m, und Multiplizieren ergibt eine riesige Zahl.
2Schallpegel und Doppler-Effekt
Unsere Ohren reagieren auf die Intensität I (W/m²) auf einer logarithmischen Skala, daher wird die Lautstärke in Dezibel angegeben:
β = 10·log₁₀(I/I₀) I₀ = 10⁻¹² W/m²
Die zehnfache Intensität addiert 10 dB; zwei gleiche Quellen addieren etwa 3 dB. Eine kleine Quelle verteilt ihre Leistung über eine Kugel, I = P/(4πr²), also senkt der doppelte Abstand den Pegel um etwa 6 dB.
Wenn sich Quelle und Hörer annähern, steigt die Tonhöhe; wenn sie sich entfernen, sinkt sie (Doppler-Effekt):
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Verwende die oberen Vorzeichen für eine Bewegung aufeinander zu. Die Geschwindigkeit des Hörers steht im Zähler, die der Quelle im Nenner.
3Stehende Wellen
An beiden Enden einer Saite reflektierte Wellen überlagern sich zu einer stehenden Welle. Eine an beiden Enden eingespannte Saite hat an den Enden Knoten und fasst ganze halbe Wellenlängen:
L = nλ/2 fₙ = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, …
Eine an beiden Enden offene Pfeife folgt derselben Regel. Eine einseitig geschlossene Pfeife hat am geschlossenen Ende einen Knoten und am offenen Ende einen Bauch, also passen nur ungerade Harmonische: fₙ = n·v/(4L) mit n = 1, 3, 5, …
Selbsttest Eine einseitig geschlossene Pfeife hat ihre Grundfrequenz bei 100 Hz. Welche dieser Frequenzen kann sie ebenfalls erzeugen?
- 150 Hz
- 200 Hz
- 300 Hz
- 50 Hz
Antwort: 300 Hz. Eine geschlossene Pfeife hat nur ungerade Harmonische: 100, 300, 500 Hz, … 200 Hz bräuchte n = 2, was eine geschlossene Pfeife nicht enthalten kann.
4Brechung und Linsen
Licht wird in Glas oder Wasser um den Faktor n = c/v langsamer (die Brechzahl). An einer Grenzfläche ändert der Strahl seine Richtung (Snelliussches Brechungsgesetz), wobei die Winkel von der Normalen aus gemessen werden:
n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ Grenzwinkel: sin θc = n₂/n₁
Beim Übergang von einem dichteren in ein dünneres Medium wird jenseits von θc alles Licht reflektiert (Totalreflexion). Glasfasern leiten Licht auf diese Weise.
Dünne Linsen und gekrümmte Spiegel gehorchen einer Gleichung, mit dem Abbildungsmaßstab m = −dᵢ/d₀:
1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ
Vorzeichen: f > 0 für eine Sammellinse und einen Hohlspiegel (f = R/2), f < 0 für eine Zerstreuungslinse und einen Wölbspiegel. Ein positives dᵢ ist ein reelles Bild, ein negatives dᵢ ein virtuelles; m < 0 bedeutet, dass das Bild auf dem Kopf steht.
5Interferenz und Beugung
Licht aus zwei schmalen Spalten im Abstand d überlagert sich auf einem Schirm im Abstand L. Wo der Gangunterschied d·sin θ ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist, addieren sich die Wellen: helle Streifen.
d·sin θ = mλ yₘ = mλL/d Δy = λL/d
Ein Beugungsgitter hat viele Spalte: N Linien pro mm bedeuten d = 1/N mm. Seine Maxima sind scharf und weit auseinander, und die höchste Ordnung ist das größte ganze m mit m ≤ d/λ. Ein Einzelspalt der Breite a hat dunkle Streifen bei a·sin θ = mλ, sein zentrales Maximum ist also 2λL/a breit.
6Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes BeispielEin Gegenstand steht 30 cm vor einer Sammellinse mit f = 10 cm. Bestimme die Bildweite und den Abbildungsmaßstab.
11/dᵢ = 1/f − 1/d₀ = 1/10 − 1/30 = 2/30
Also ist dᵢ = 15 cm.
2dᵢ ist positiv, also ist das Bild reell: Es entsteht auf der anderen Seite der Linse und lässt sich auf einem Schirm auffangen.
3m = −dᵢ/d₀ = −15/30 = −0,5
Das Bild steht auf dem Kopf und ist halb so groß wie der Gegenstand.
4Ein Strahl parallel zur Achse wird auf der anderen Seite durch F gebrochen; ein Strahl durch die Mitte geht geradeaus. Sie schneiden sich 15 cm hinter der Linse, unterhalb der Achse.
Antwort dᵢ = 15 cm und m = −0,5: ein reelles, umgekehrtes Bild von halber Größe.
Selbsttest Ein Gegenstand steht 5 cm vor einer Sammellinse mit f = 10 cm. Welche Art von Bild entsteht?
- Kein Bild: Die Strahlen verlassen die Linse parallel
- Reell und aufrecht, auf derselben Seite
- Reell und umgekehrt, auf der anderen Seite
- Virtuell und aufrecht, auf derselben Seite wie der Gegenstand
Antwort: Virtuell und aufrecht, auf derselben Seite wie der Gegenstand. 1/dᵢ = 1/10 − 1/5 = −1/10, also dᵢ = −10 cm: Eine negative Bildweite bedeutet ein virtuelles Bild, und m = +2 bedeutet aufrecht und vergrößert. So funktioniert eine Lupe.
7Häufige Fehler und Prüfungsfragen
- Winkel von der Oberfläche statt von der Normalen aus messen.
- 10·log für Amplituden oder 20·log für Intensitäten verwenden: Intensitäten verwenden 10·log.
- Einer geschlossenen Pfeife gerade Harmonische zuschreiben.
- Das Minuszeichen eines virtuellen Bildes oder einer Zerstreuungslinse weglassen.
- Vergessen, nm, mm und cm bei Interferenzaufgaben in Meter umzurechnen.
- Leicht: v = fλ, Wellen auf Saiten, Schallpegel, das Snelliussche Brechungsgesetz und die Lichtgeschwindigkeit in einem Material.
- Mittel: stehende Wellen auf Saiten und in Pfeifen, der Grenzwinkel, dünne Linsen, der Doppler-Effekt und das quadratische Abstandsgesetz.
- Schwer: Doppelspalte, Gitter, Einzelspalte, Spiegel, Zwei-Linsen-Systeme, Echos von bewegten Objekten und Glasfasern.
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