Kreisbewegung: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Kostenlose Übungsaufgaben zu Kreisbewegung mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Zentripetalkraft, Reibung in der Kurve, vertikaler Kreis.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
r = 100 m29 m/sF = ?

Ein Auto mit 1600 kg fährt mit konstant 29 m/s durch eine ebene Kurve mit dem Radius 100 m. Bestimme die nötige nach innen gerichtete Kraft (Zentripetalkraft) Fc.

m = 1600 kgv = 29 m/sr = 100 m
N
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Was du übst

  1. LeichtZentripetalkraft
  2. MittelReibung in der Kurve
  3. Schwervertikaler Kreis

Wichtige Formeln

Zentripetalbeschleunigung
a = v²/r = ω²·r
Zentripetalkraft
F = m·v²/r
Winkelgeschwindigkeit
ω = v/r = 2π/T
Ebene Kurve, Reibung
vmax = √(μ·g·r)

Kreisbewegung von Grund auf lernen

Davor: Newtonsche Gesetze

1Was eine Kreisbewegung ist

Ein Auto in einer Kurve, ein Stein an einer Schnur und ein Satellit um die Erde bewegen sich alle auf einem Kreis. Selbst bei konstanter Geschwindigkeit ändert sich ständig ihre Richtung.

Eine Richtungsänderung ist eine Änderung der Geschwindigkeit, der Körper beschleunigt also. Diese Beschleunigung zeigt zum Mittelpunkt des Kreises. Sie heißt Zentripetalbeschleunigung ac.

rvac​v ⊥ rac​ = v²/r

Die Geschwindigkeit liegt immer entlang der Tangente, im rechten Winkel zum Radius. Würde die nach innen gerichtete Kraft plötzlich wegfallen, würde der Körper geradlinig entlang der Tangente davonfliegen, nicht nach außen.

Selbsttest Ein Auto fährt mit konstanter Geschwindigkeit durch einen Kreisverkehr. In welche Richtung beschleunigt es?
  1. Es beschleunigt nicht
  2. Nach außen, vom Mittelpunkt weg
  3. Nach vorn, entlang seiner Geschwindigkeit
  4. Zum Mittelpunkt des Kreises hin

Antwort: Zum Mittelpunkt des Kreises hin. Die Geschwindigkeit ist konstant, aber die Richtung ändert sich, es gibt also eine Beschleunigung. Sie zeigt zum Mittelpunkt. Das Gefühl, „nach außen“ gedrückt zu werden, kommt daher, dass dein Körper geradeaus weiterfahren will.

2Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft

Die Zentripetalbeschleunigung hängt von der Geschwindigkeit v (m/s) und dem Radius r (m) ab:

ac = v² / r

Die doppelte Geschwindigkeit ergibt die vierfache Beschleunigung. Eine engere Kurve (kleineres r) ergibt eine größere Beschleunigung.

Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz muss etwas eine nach innen gerichtete Kraft dieser Größe liefern:

Fc = m · v² / r

Fc ist keine neue Kraft. Sie ist die resultierende Kraft nach innen, die aus echten Kräften entsteht: Reibung in einer ebenen Kurve, Zugkraft in einer Schnur, die Schwerkraft bei einem Satelliten oder die Normalkraft auf einer überhöhten Straße.

Rotierende Körper werden oft durch die Winkelgeschwindigkeit ω in rad/s beschrieben. Eine Umdrehung sind 2π rad, also sind 60 rpm gleich 2π rad/s.

ω = v / r = 2π / T ac = ω² · r
Selbsttest Ein Radfahrer fährt mit 10 m/s durch eine Kurve mit dem Radius 50 m. Wie groß ist die Zentripetalbeschleunigung?
  1. 0,2 m/s²
  2. 2 m/s²
  3. 5 m/s²
  4. 5000 m/s²

Antwort: 2 m/s². ac = v²/r = 100/50 = 2 m/s². Wer vergisst, die Geschwindigkeit zu quadrieren, erhält 10/50 = 0,2 m/s².

3Das Verfahren Schritt für Schritt

  1. Rechne Geschwindigkeiten in m/s, Radien in m und rpm in rad/s um.
  2. Zeichne den Körper an der fraglichen Stelle und markiere die Richtung zum Mittelpunkt.
  3. Zeichne die echten Kräfte ein: Gewichtskraft, Normalkraft, Reibung, Seilkraft.
  4. Nimm „zum Mittelpunkt hin“ als positiv und addiere die Kraftkomponenten in dieser Richtung.
  5. Setze diese resultierende Kraft nach innen gleich m·v²/r und löse.

In einer ebenen Kurve liefert allein die Reibung die Kraft nach innen. Die höchste Geschwindigkeit vor dem Rutschen folgt aus μ·m·g = m·v²/r. Die Masse kürzt sich:

vmax = √(μ · g · r)

4Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

Durchgerechnetes Beispiel

Ein Auto fährt durch eine ebene Kurve mit dem Radius 40 m. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße beträgt 0,5. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die höchste Geschwindigkeit vmax, mit der das Auto die Kurve ohne Rutschen durchfahren kann.

1

Welche Kraft zeigt nach innen?

Auf einer ebenen Straße sind Gewichtskraft und Normalkraft vertikal. Nur die Reibung wirkt seitlich, zum Mittelpunkt der Kurve hin.

2

Die größte Reibkraft

Auf einer ebenen Straße ist N = m·g, die Reibung kann also höchstens sein:

Ff,max = μ · m · g
3

Setze sie gleich der Zentripetalkraft

μ · m · g = m · v² / r

Die Masse m steht auf beiden Seiten und kürzt sich, die Antwort ist also für ein kleines Auto und einen Lkw dieselbe.

4

Nach der Geschwindigkeit auflösen

v² = μ · g · r = 0,5 · 9,81 · 40 = 196,2 m²/s²
vmax = √196,2 ≈ 14,0 m/s
5

Antwort prüfen

14,0 m/s × 3,6 ≈ 50 km/h. Das ist eine vernünftige Höchstgeschwindigkeit für eine enge Kurve von 40 m. Eine glatte Straße (kleineres μ) würde eine niedrigere Geschwindigkeit ergeben.

Antwort

vmax ≈ 14,0 m/s, etwa 50 km/h.

5Vertikale Kreise

In einem vertikalen Kreis zeigt die Gewichtskraft manchmal zum Mittelpunkt und manchmal von ihm weg. Betrachte oben und unten getrennt.

Tm·gTm·gT + m·g = m·v²/rT − m·g = m·v²/r
  • Oben zeigen Seilkraft (oder Normalkraft) und Gewichtskraft beide nach unten, zum Mittelpunkt hin.
  • Unten zeigt die Seilkraft nach oben zum Mittelpunkt, aber die Gewichtskraft zeigt von ihm weg. Die Schnur muss die Gewichtskraft halten und die Zentripetalkraft liefern.

Oben bleibt die Schnur gerade noch gespannt, wenn T = 0 ist. Dann liefert allein die Gewichtskraft die Kraft nach innen: m·g = m·v²/r, also vmin = √(g·r).

Wenn du die Geschwindigkeit an einem Punkt kennst und sie an einem anderen brauchst, verwende die Energie: Der Aufstieg um 2r kostet 2·g·r an v²/2 pro kg, also vtop² = vbottom² − 4·g·r.

6Häufige Fehler

  • Die Zentripetalkraft als zusätzliche Kraft neben Reibung oder Seilkraft einzeichnen. Sie ist die Summe der echten Kräfte.
  • Vergessen, die Geschwindigkeit in v²/r zu quadrieren.
  • km/h oder rpm direkt verwenden. Rechne zuerst in m/s oder rad/s um.
  • Das Vorzeichen der Gewichtskraft im vertikalen Kreis falsch bestimmen: Oben hilft sie, unten wirkt sie der Schnur entgegen.
  • Denken, es gebe eine Kraft nach außen auf den Körper. Im Bezugssystem des Bodens gibt es keine.
Selbsttest Eine Kugel von 0,5 kg an einer 1 m langen Schnur bewegt sich am tiefsten Punkt eines vertikalen Kreises mit 4 m/s. Wie groß ist dort die Seilkraft mit g = 9,81 m/s²?
  1. 12,9 N
  2. 3,1 N
  3. 4,9 N
  4. 8 N

Antwort: 12,9 N. Unten gilt T − m·g = m·v²/r, also T = 0,5 · 9,81 + 0,5 · 16/1 = 4,9 + 8 = 12,9 N. 8 N vergisst die Gewichtskraft. 3,1 N zieht die Gewichtskraft ab, statt sie zu addieren.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

  • Leicht: Zentripetalkraft. Bestimme ac oder Fc für ein Auto in einer Kurve, einen Stein an einer Schnur oder einen Punkt auf einer rotierenden Scheibe.
  • Mittel: Reibung in einer Kurve und verwandte Fälle: die höchste Geschwindigkeit in einer ebenen Kurve, eine überhöhte Kurve, eine Kuppe, ein Kegelpendel oder ein Rotor auf dem Jahrmarkt.
  • Schwer: der vertikale Kreis. Seilkraft oben oder unten, die kleinste Geschwindigkeit oben oder ein Looping mit Energieerhaltung.

Frage in jedem Fall zuerst: Welche echte Kraft, oder welche Kombination, zeigt zum Mittelpunkt?

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Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
r = 110 m14 m/sF = ?

Ein Auto mit 1700 kg fährt mit konstant 14 m/s durch eine ebene Kurve mit dem Radius 110 m. Bestimme die nötige nach innen gerichtete Kraft (Zentripetalkraft) Fc.

m = 1700 kgv = 14 m/sr = 110 m

Gesucht: Fc (N)

Tipps anzeigen
  1. Eine Kreisbewegung mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag ist trotzdem beschleunigt, und zwar zum Mittelpunkt hin.
  2. a = v²/r und F = m·a.
  3. v² = 196 m²/s².
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.

Zentripetalbeschleunigung

ac = v²/r = 14²/110 = 1,782 m/s²

Zentripetalkraft

Fc = m·a = 1700·1,782 = 3029 N

Antwort

Fc = 3029 N
Beispiel 2Mittel
r = 50 mvmax​ = ?

Ein Auto fährt durch eine ebene Kurve mit dem Radius 50 m. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Reifen und Straße ist 0,3. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die größte Geschwindigkeit vmax, mit der das Auto die Kurve durchfahren kann, ohne zu rutschen.

r = 50 mμs = 0,3g = 9,81 m/s²

Gesucht: vmax (m/s)

Tipps anzeigen
  1. Die Reibung ist die einzige nach innen gerichtete Kraft, und sie kann höchstens μ·m·g betragen.
  2. Setze m·v²/r = μ·m·g. Die Masse kürzt sich.
  3. v = √(μ·g·r).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.

Die Reibung liefert die Zentripetalkraft

m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·50) = 12,13 m/s

Antwort

vmax = 12,13 m/s (43,67 km/h)
Beispiel 3Schwer
R = 3,5 mh = 11,9 m

Ein Wagen mit 1 kg wird in 11,9 m Höhe auf einer reibungsfreien Bahn aus der Ruhe losgelassen und durchfährt einen senkrechten Looping mit dem Radius 3,5 m. Verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Normalkraft Nbottom der Bahn auf den Wagen am tiefsten Punkt des Loopings.

m = 1 kgh = 11,9 mR = 3,5 mg = 9,81 m/s²

Gesucht: Nbottom (N)

Tipps anzeigen
  1. Energie: Am tiefsten Punkt gilt v² = 2g·h.
  2. Am tiefsten Punkt: N − m·g = m·v²/R.
  3. v² = 233,5 m²/s².
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Geschwindigkeit aus dem Energieerhaltungssatz

v² = 2·9,81·11,9 = 233,5 m²/s²

Kräfte

Zum Mittelpunkt ist positiv.

N = m·v²/R + m·g = 1·233,5/3,5 + 9,81 = 76,52 N

Antwort

Nbottom = 76,52 N

Fragen und Antworten

Kreisbewegung: Worum geht es?

Ein Auto in einer Kurve, ein Stein an einer Schnur und ein Satellit um die Erde bewegen sich alle auf einem Kreis. Selbst bei konstanter Geschwindigkeit ändert sich ständig ihre Richtung.

Eine Richtungsänderung ist eine Änderung der Geschwindigkeit, der Körper beschleunigt also. Diese Beschleunigung zeigt zum Mittelpunkt des Kreises. Sie heißt Zentripetalbeschleunigung ac.

Kreisbewegung: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?

Gleichförmige Kreisbewegung: Ein Körper, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis mit Radius r bewegt, wird mit a = v²/r zum Mittelpunkt hin beschleunigt; er braucht also eine nach innen gerichtete resultierende Kraft F = m·v²/r. Diese Kraft liefert etwas Reales: Reibung, Seilkraft, Gewichtskraft oder eine Normalkraft.

Kreisbewegung: Welche Fehler passieren am häufigsten?
  • Quadriere die Geschwindigkeit: a = v²/r.
  • Das ist v². Zieh die Wurzel: v = √(μ·g·r).
  • Gib die Geschwindigkeit in m/s an, nicht in km/h.
Kreisbewegung: Was wird geübt?
  • Leicht: Zentripetalkraft
  • Mittel: Reibung in der Kurve
  • Schwer: vertikaler Kreis

Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.

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  • Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.

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