Schiefer Wurf: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Wurfparabel · Wurfbewegung
Kostenlose Übungsaufgaben zu Schiefer Wurf mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: waagerechter Wurf, Abwurf vom Boden, Abwurf aus der Höhe.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Ein Stein wird waagerecht von einer 20 m hohen Mauer geworfen und landet 22 m vom Fuß der Mauer entfernt. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Bestimme die Abwurfgeschwindigkeit v0.
Ein Geschoss (Wurfkörper) ist ein Körper, der durch die Luft fliegt und auf den nur die Schwerkraft wirkt. Ein getretener Ball, ein von einer Brücke geworfener Stein und Wasser aus einem Schlauch sind alle Wurfkörper.
In diesem Thema vernachlässigst du den Luftwiderstand. Dann ist die Bahn immer eine glatte Kurve, die Parabel heißt.
Die Kernidee: Die Bewegung zerfällt in zwei getrennte Teile. Seitlich schiebt oder bremst nichts den Körper. Auf und ab zieht ihn die Schwerkraft mit g = 9,81 m/s².
Die waagerechte Geschwindigkeit bleibt also die ganze Zeit gleich, während sich die senkrechte Geschwindigkeit jede Sekunde ändert. Die beiden Teile haben nur eines gemeinsam: die Zeit.
Selbsttest Ein Ball fliegt ohne Luftwiderstand durch die Luft. Welche Größe bleibt während des Flugs konstant?
Die Gesamtgeschwindigkeit
Die Höhe
Die senkrechte Geschwindigkeit
Die waagerechte Geschwindigkeit
Antwort: Die waagerechte Geschwindigkeit. Seitlich wirkt keine Kraft, die waagerechte Geschwindigkeit ändert sich also nie. Die Schwerkraft ändert die senkrechte Geschwindigkeit und damit die Gesamtgeschwindigkeit und die Höhe.
2Zwei Bewegungen, eine Uhr
Lege den Ursprung in den Abwurfpunkt, mit x waagerecht und y senkrecht (oben ist positiv). Nach einer Zeit t gilt:
x = vx · t
y = h + vy · t − ½ · g · t²
Hier ist h die Abwurfhöhe über dem Boden, vx die waagerechte Geschwindigkeit und vy die senkrechte Anfangsgeschwindigkeit.
Der Ball trifft den Boden, wenn y = 0 ist. Du löst die senkrechte Gleichung nach dieser Zeit und setzt dieselbe Zeit dann in die waagerechte Gleichung ein.
Bei einem waagerechten Wurf ist vy = 0. Die senkrechte Gleichung wird zu h = ½ · g · t², die Fallzeit ist also:
t = √(2h / g)
Diese Fallzeit hängt überhaupt nicht von der waagerechten Geschwindigkeit ab.
Selbsttest Aus derselben Tabelle: Ball A rollt mit 1 m/s von der Kante und Ball B mit 3 m/s. Welcher landet zuerst?
Ball A
Ball B
Das hängt von ihren Massen ab
Sie landen gleichzeitig
Antwort: Sie landen gleichzeitig. Beide starten mit der senkrechten Geschwindigkeit null und fallen dieselbe Höhe, also ist t = √(2h/g) gleich. Ball B landet nur weiter weg.
3Abwurf unter einem Winkel
Wird der Ball mit der Geschwindigkeit v0 unter einem Winkel θ über der Waagerechten abgeworfen, zerlege zuerst die Geschwindigkeit in ihre beiden Teile, die Komponenten:
vx = v0 · cos θ vy = v0 · sin θ
Von ebenem Boden aus steigt der Ball, bis seine senkrechte Geschwindigkeit null ist, und fällt dann zurück. Steigen und Fallen dauern gleich lang. Das ergibt drei nützliche Ergebnisse:
ttop = vy / g t = 2 · vy / g
H = vy² / (2g) R = v0² · sin 2θ / g
Die Formel für die Wurfweite R gilt nur, wenn der Ball in derselben Höhe landet, aus der er abgeworfen wurde.
Selbsttest Ein Ball wird mit 20 m/s unter 30° über der Waagerechten abgeworfen. Wie lauten seine Geschwindigkeitskomponenten?
vx = 10 m/s und vy = 10 m/s
vx = 10 m/s und vy = 17,3 m/s
vx = 17,3 m/s und vy = 10 m/s
vx = 20 m/s und vy = 20 m/s
Antwort: vx = 17,3 m/s und vy = 10 m/s. vx = 20 · cos 30° = 17,3 m/s und vy = 20 · sin 30° = 10 m/s. Vertauscht man sie, verwendet man sin für den waagerechten Teil, die klassische Verwechslung.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
Zeichne die Bahn. Markiere die Abwurfhöhe h, die Abwurfgeschwindigkeit v0, den Winkel θ und das Gesuchte.
Zerlege die Abwurfgeschwindigkeit in Komponenten: vx = v0 · cos θ und vy = v0 · sin θ. Ein waagerechter Wurf hat vy = 0.
Bestimme mit der senkrechten Bewegung die Flugzeit: Setze y = 0 in y = h + vy·t − ½·g·t² und löse nach t.
Verwende diese Zeit in der waagerechten Bewegung: x = vx · t.
Für die Geschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt kombiniere die Komponenten: v = √(vx² + (vy − g·t)²).
Prüfe, ob dein Taschenrechner auf Grad eingestellt ist, bevor du sin oder cos eines in Grad gegebenen Winkels bildest.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes Beispiel
Ein Ball wird mit 12 m/s waagerecht von der Oberkante einer 45 m hohen Klippe geworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand und verwende g = 9,81 m/s². Wie weit vom Fuß der Klippe entfernt landet er?
1
Die Situation zeichnen
Der Wurf ist waagerecht, also ist vx = 12 m/s und vy = 0. Der Ball muss h = 45 m fallen.
2
Die Flugzeit bestimmen
Die senkrechte Bewegung ist ein Fall aus der Ruhe über 45 m:
t = √(2h / g) = √(2 · 45 / 9,81) = √9,174 = 3,03 s
3
Die Zeit seitlich nutzen
Während dieser 3,03 s bewegt sich der Ball seitlich weiter mit 12 m/s:
x = vx · t = 12 · 3,029 = 36,3 m
4
Antwort prüfen
Setze die Zeit zurück in die senkrechte Bewegung ein: ½ · 9,81 · 3,029² = 45,0 m. Das ist genau die Höhe der Klippe, die Zeit stimmt also.
Eine Entfernung von etwa 36 m für einen Wurf mit 12 m/s über 3 s ist ebenfalls eine sinnvolle Größenordnung.
5
Weiter gedacht: die Aufprallgeschwindigkeit
Kurz vor der Landung ist vy = g · t = 9,81 · 3,029 = 29,7 m/s nach unten, während vx immer noch 12 m/s beträgt.
v = √(12² + 29,7²) = 32,0 m/s
Antwort
Der Ball landet x ≈ 36,3 m vom Fuß der Klippe entfernt, nach 3,03 s.
6Häufige Fehler
Die volle Geschwindigkeit v0 verwenden, wo eine Komponente hingehört. Die Flugzeit ergibt sich nur aus vy, die Wurfweite nur aus vx.
sin und cos verwechseln. Die waagerechte Komponente gehört zu cos θ, wenn θ von der Waagerechten aus gemessen wird.
Ein Taschenrechner im Bogenmaß, während der Winkel in Grad gegeben ist.
R = v0² · sin 2θ / g verwenden, wenn der Ball tiefer oder höher landet, als er gestartet ist. Dann musst du stattdessen die senkrechte Gleichung lösen.
Der waagerechten Bewegung eine Beschleunigung geben. Seitlich ist die Geschwindigkeit konstant.
Selbsttest Ein Ball wird von ebenem Boden mit 20 m/s unter 30° über der Waagerechten getreten. Wie lange ist er in der Luft? (g = 9,81 m/s²)
1,02 s
2,04 s
3,53 s
4,08 s
Antwort: 2,04 s. vy = 20 · sin 30° = 10 m/s, also t = 2 · 10 / 9,81 = 2,04 s. Mit den vollen 20 m/s erhält man 4,08 s, und 1,02 s ist nur die Zeit bis zum höchsten Punkt.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: ein waagerechter Wurf von einer Klippe oder Mauer. Bestimme die Flugzeit, die Wurfweite, die Abwurfgeschwindigkeit aus einer gegebenen Wurfweite oder die Aufprallgeschwindigkeit. Manche leichten Aufgaben fragen nach der Zeit bis zum höchsten Punkt eines Wurfs vom Boden aus.
Mittel: ein Wurf von ebenem Boden unter einem Winkel. Bestimme die Flugzeit, die maximale Höhe oder die Wurfweite. Varianten fragen nach der Abwurfgeschwindigkeit oder dem Winkel, die eine bestimmte Wurfweite ergeben, oder nach der Höhe, in der der Ball eine Mauer passiert.
Schwer: ein Wurf unter einem Winkel von der Oberkante einer Klippe oder eine Landung auf einem Dach. Setzt du y = 0 (oder die Dachhöhe), erhältst du eine quadratische Gleichung in t: Nimm die positive Wurzel.
Im schweren Fall folgt der Landewinkel unter der Waagerechten aus den Endkomponenten: tan α = |vy − g·t| / vx.
Ein Ball wird waagerecht von der Kante einer 55 m hohen Klippe abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand. Bestimme die horizontale Entfernung x, die der Ball zurücklegt, bevor er auf dem Boden aufkommt.
v0 = 10 m/sθ = 0°h = 55 mg = 9,81 m/s²
Gesucht: x(m)
Tipps anzeigen
Behandle horizontale und vertikale Bewegung getrennt. Sie haben nur die Zeit t gemeinsam.
Der Ball landet, wenn seine Höhe y(t) null wird. Schreibe y(t) = h + vyt − ½gt².
vy = 0 m/s, und der Flug dauert 3,349 s.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Abwurfgeschwindigkeit zerlegen
Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant; die vertikale Bewegung hat eine konstante Beschleunigung g = 9,81 m/s² nach unten.
vx = v0·cos θ = 10·cos 0° = 10 m/s
vy = v0·sin θ = 10·sin 0° = 0 m/s
Flugzeit
Löse y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 nach der positiven Wurzel auf.
t = √(2h/g) = √(2·55/9,81) = 3,349 s
Horizontale Entfernung
x = vx·t = 10·3,349 = 33,49 m
Antwort
x = 33,49 m
Beispiel 2Mittel
Ein Ball wird unter 60° zur Horizontalen vom ebenen Boden abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand. Bestimme die Flugzeit t, bis der Ball auf dem Boden aufkommt.
v0 = 26 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²
Gesucht: t(s)
Tipps anzeigen
Behandle horizontale und vertikale Bewegung getrennt. Sie haben nur die Zeit t gemeinsam.
Aus Symmetriegründen ist die Steigzeit gleich der Fallzeit.
vy = 22,52 m/s.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Abwurfgeschwindigkeit zerlegen
Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant; die vertikale Bewegung hat eine konstante Beschleunigung g = 9,81 m/s² nach unten.
vx = v0·cos θ = 26·cos 60° = 13 m/s
vy = v0·sin θ = 26·sin 60° = 22,52 m/s
Flugzeit
Abwurf und Landung auf gleicher Höhe: t = 2vy/g.
t = 2·22,52/9,81 = 4,591 s
Antwort
t = 4,591 s
Beispiel 3Schwer
Ein Ball wird unter 25° zur Horizontalen von der Kante einer 55 m hohen Klippe abgeworfen. Vernachlässige den Luftwiderstand. Bestimme die Flugzeit t, bis der Ball auf dem Boden aufkommt.
v0 = 33 m/sθ = 25°h = 55 mg = 9,81 m/s²
Gesucht: t(s)
Tipps anzeigen
Behandle horizontale und vertikale Bewegung getrennt. Sie haben nur die Zeit t gemeinsam.
Der Ball landet, wenn seine Höhe y(t) null wird. Schreibe y(t) = h + vyt − ½gt².
vy = 13,95 m/s.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Schiefer Wurf: Ohne Luftwiderstand gilt x = vxt und y = h + vyt − ½gt². Die beiden Richtungen sind unabhängig, nur die Zeit ist gemeinsam.
Abwurfgeschwindigkeit zerlegen
Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant; die vertikale Bewegung hat eine konstante Beschleunigung g = 9,81 m/s² nach unten.
vx = v0·cos θ = 33·cos 25° = 29,91 m/s
vy = v0·sin θ = 33·sin 25° = 13,95 m/s
Flugzeit
Löse y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 nach der positiven Wurzel auf.
0 = 55 + 13,95·t − 4,905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (13,95 + √(194,5 + 1079))/9,81 = 5,06 s
Antwort
t = 5,06 s
Fragen und Antworten
Schiefer Wurf: Worum geht es?
Ein Geschoss (Wurfkörper) ist ein Körper, der durch die Luft fliegt und auf den nur die Schwerkraft wirkt. Ein getretener Ball, ein von einer Brücke geworfener Stein und Wasser aus einem Schlauch sind alle Wurfkörper.
In diesem Thema vernachlässigst du den Luftwiderstand. Dann ist die Bahn immer eine glatte Kurve, die Parabel heißt.
Schiefer Wurf: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Zerlege die Abwurfgeschwindigkeit in Komponenten: vx = v₀·cos θ und vy = v₀·sin θ.
Die horizontale Bewegung hat konstante Geschwindigkeit; die vertikale Bewegung hat die Beschleunigung −g.
Bestimme die Flugzeit aus der vertikalen Bewegung.
Setze diese Zeit in die horizontale Bewegung ein, um die Wurfweite zu bestimmen.
Schiefer Wurf: Welche Fehler passieren am häufigsten?
v₀ statt einer Komponente verwenden.
Taschenrechner im Bogenmaß, obwohl der Winkel in Grad gegeben ist.
Die Wurfweitenformel v₀²·sin 2θ/g verwenden, obwohl Abwurf- und Landehöhe verschieden sind.
Schiefer Wurf: Was wird geübt?
Leicht: waagerechter Wurf
Mittel: Abwurf vom Boden
Schwer: Abwurf aus der Höhe
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.