Zahnräder & Zahnradgetriebe von Grund auf lernen
1Was Zahnräder leisten
Zahnräder übertragen die Drehung von einer Welle auf eine andere. Ihre Zähne greifen ineinander, sodass sie nicht rutschen können.
Ein Getriebe erfüllt zwei Aufgaben zugleich. Es ändert die Drehzahl, und es ändert das Drehmoment, die Drehkraft an der Welle. Langsamer heißt stärker.
Ein Elektromotor dreht schnell, aber mit wenig Drehmoment. Ein Zahnradpaar bremst ihn ab, sodass er ein schweres Förderband oder eine Winde antreiben kann. Ein Fahrrad in einem niedrigen Gang funktioniert genauso.
Das Zahnrad, das vom Motor angetrieben wird, ist das treibende Rad (oft ein kleines Zahnrad, das Ritzel heißt). Das Zahnrad, das es dreht, ist das getriebene Rad.
Zwei ineinandergreifende Zahnräder drehen sich in entgegengesetzte Richtungen.
Selbsttest Ein kleines Zahnrad treibt ein großes an. Verglichen mit dem kleinen Zahnrad dreht sich das große …
- langsamer, mit mehr Drehmoment
- langsamer, mit weniger Drehmoment
- mit gleicher Drehzahl in gleicher Richtung
- schneller, mit mehr Drehmoment
Antwort: langsamer, mit mehr Drehmoment. Das große Zahnrad braucht für eine eigene Umdrehung mehr Umdrehungen des kleinen, ist also langsamer. Die Leistung ist nahezu gleich, also trägt die langsamere Welle mehr Drehmoment.
2Das Drehzahlverhältnis
An der Stelle, an der sich zwei Zahnräder berühren, laufen ihre Zähne mit gleicher Geschwindigkeit vorbei. Wenn sich das Ritzel mit 20 Zähnen einmal dreht, schiebt es 20 Zähne des großen Rades vorbei. Ein Rad mit 60 Zähnen macht dann nur ein Drittel einer Umdrehung.
Die Drehzahlen n (in rpm) und die Zähnezahlen N sind also verknüpft durch:
n1 · N1 = n2 · N2
Das Übersetzungsverhältnis ist i = N2 / N1 = n1 / n2. Ein Verhältnis von 3 bedeutet, dass sich der Abtrieb dreimal langsamer dreht.
In einem mehrstufigen Zahnradgetriebe sitzen zwei Zahnräder auf derselben mittleren Welle und drehen sich daher mit gleicher Drehzahl. Das Gesamtverhältnis ist das Produkt der Stufenverhältnisse:
itotal = (NB / NA) · (ND / NC)
Ein Zwischenrad zwischen zwei anderen (jedes auf seiner eigenen Welle) ändert nur die Drehrichtung. Die Drehzahl des letzten Rades ergibt sich allein aus dem ersten und dem letzten Rad.
Selbsttest Ein Zahnrad mit 20 Zähnen, das sich mit 900 rpm dreht, treibt ein Zahnrad mit 60 Zähnen an. Wie schnell dreht sich das Rad mit 60 Zähnen?
- 1,33 rpm
- 2700 rpm
- 300 rpm
- 900 rpm
Antwort: 300 rpm. n2 = n1 · N1/N2 = 900 · 20/60 = 300 rpm. Multiplizierst du mit 60/20, erhältst du 2700 rpm: Das große Rad würde sich dann schneller drehen, was verkehrt ist.
3Drehmoment und Leistung
Die Leistung ist Drehmoment mal Winkelgeschwindigkeit. Die Winkelgeschwindigkeit muss in rad/s angegeben sein, rechne also zuerst von rpm um:
ω = 2π · n / 60 P = T · ω
Ein Zahnradpaar gibt fast die gesamte Leistung weiter. Nur wenige Prozent gehen durch Reibung verloren, beschrieben durch den Wirkungsgrad η (typischerweise 0,95 bis 0,98):
P2 = η · P1
Weil die Drehzahl um das Übersetzungsverhältnis sinkt, die Leistung aber nahezu gleich bleibt, steigt das Drehmoment um dieses Verhältnis:
T2 = T1 · (N2 / N1) · η
Selbsttest Ein 3-kW-Motor dreht mit 955 rpm. Welches Drehmoment liefert er?
- 0,03 N·m
- 188 N·m
- 3,14 N·m
- 30 N·m
Antwort: 30 N·m. ω = 2π · 955/60 = 100 rad/s, also T = 3000/100 = 30 N·m. Teilst du direkt durch die rpm, erhältst du 3,14, lässt du die Leistung in kW, erhältst du 0,03, und vergisst du das 2π, erhältst du 188.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
- Skizziere die Zahnräder und schreibe die Zähnezahl an jedes. Markiere die Antriebswelle und die Abtriebswelle.
- Bestimme das Verhältnis jeder Stufe, Zähne des getriebenen Rades / Zähne des treibenden Rades, und multipliziere die Stufen bei einem mehrstufigen Getriebe.
- Abtriebsdrehzahl: nab = nan / igesamt.
- Antriebsdrehmoment vom Motor: Rechne rpm mit ω = 2π·n/60 in rad/s um, dann T = P/ω.
- Abtriebsdrehmoment: Multipliziere mit dem Verhältnis und mit dem Wirkungsgrad jedes Zahneingriffs.
Prüfe die Richtung der Antwort: Eine Untersetzung macht den Abtrieb langsamer und sein Drehmoment größer.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes BeispielEin 4-kW-Motor mit 1200 rpm treibt ein Ritzel mit 20 Zähnen an, das in ein Zahnrad mit 60 Zähnen eingreift. Das Zahnradpaar hat einen Wirkungsgrad von 96 %. Bestimme die Drehzahl des Zahnrads und das Abtriebsdrehmoment an seiner Welle.
1Das Ritzel ist das treibende Rad. Das Übersetzungsverhältnis ist i = 60/20 = 3.
2n2 = n1 · N1 / N2 = 1200 · 20 / 60 = 400 rpm
3Rechne die Motordrehzahl zuerst in rad/s um:
ω1 = 2π · 1200 / 60 = 125,7 rad/s
T1 = P / ω1 = 4000 / 125,7 = 31,83 N·m
4T2 = T1 · (N2 / N1) · η = 31,83 · 3 · 0,96 = 91,7 N·m
5Abtriebsleistung: P2 = 0,96 · 4000 = 3840 W, und ω2 = 2π · 400/60 = 41,89 rad/s.
T2 = 3840 / 41,89 = 91,7 N·m
Dasselbe Drehmoment, aus der Leistung bestimmt. Die Antwort stimmt.
Antwort Das Zahnrad dreht sich mit n2 = 400 rpm bei einem Abtriebsdrehmoment von T2 ≈ 91,7 N·m.
6Häufige Fehler
- Das Zähneverhältnis auf den Kopf stellen. Ein größeres getriebenes Rad muss sich langsamer drehen.
- rpm in P = T·ω verwenden. Rechne mit ω = 2π·n/60 in rad/s um.
- Das Drehmoment durch das Verhältnis teilen, statt zu multiplizieren. Eine Untersetzung erhöht das Drehmoment.
- Durch den Wirkungsgrad teilen. Reibung verkleinert das Abtriebsdrehmoment, also multipliziere mit η.
- Ein Zwischenrad im Verhältnis mitzählen oder die Zähne zweier Zahnräder auf derselben Welle multiplizieren.
Selbsttest Ein Ritzel mit 20 Zähnen überträgt 10 N·m und treibt ein Zahnrad mit 60 Zähnen an. Der Wirkungsgrad beträgt 95 %. Wie groß ist das Abtriebsdrehmoment?
- 28,5 N·m
- 3,17 N·m
- 30 N·m
- 31,6 N·m
Antwort: 28,5 N·m. T2 = 10 · (60/20) · 0,95 = 28,5 N·m. Teilst du durch das Verhältnis, erhältst du 3,17, ignorierst du den Wirkungsgrad, erhältst du 30, und teilst du durch η, erhältst du 31,6.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
- Leicht: das Drehzahlverhältnis. Bestimme die Drehzahl des getriebenen Rades oder die Zähnezahl, die für eine gegebene Drehzahl nötig ist. Varianten sind ein Zwischenrad sowie die Größe der Zahnräder aus dem Modul m: Teilkreisdurchmesser d = m·N, Achsabstand a = m·(N1 + N2)/2.
- Mittel: Drehmoment und Leistung. Ein Motor mit gegebener Leistung und Drehzahl treibt ein Zahnradpaar an: Bestimme das Antriebs- oder Abtriebsdrehmoment. Andere fragen nach der Umfangskraft an den Zähnen, Ft = 2T/d, oder betreffen ein Schneckengetriebe (Verhältnis = Zähne des Schneckenrads / Gangzahl der Schnecke).
- Schwer: ein mehrstufiges Zahnradgetriebe. Bestimme die Abtriebsdrehzahl, die nötige Zähnezahl des letzten Rades oder das Abtriebsdrehmoment mit einem Wirkungsgrad für jeden Zahneingriff. Manche Aufgaben verwenden ein Planetengetriebe.
Für ein mehrstufiges Getriebe wie A (20) → B (60), dann C (15) → D (45): i = 3 · 3 = 9, sodass eine Antriebsdrehzahl von 900 rpm am Abtrieb 100 rpm ergibt.
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