Rotation starrer Körper: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

1Was Rotation eines starren Körpers ist

Ein starrer Körper ist ein Körper, der seine Form behält: ein Schwungrad, eine Seilrolle, eine Tür oder ein rollendes Rad. In diesem Thema dreht sich der Körper um eine Achse.

Jeder Punkt des Körpers dreht sich in derselben Zeit um denselben Winkel. Du beschreibst die Bewegung also mit Winkelgrößen statt mit Strecken:

• θ: der gedrehte Winkel, in Radiant (rad). Eine Umdrehung sind 2π rad.
• ω: die Winkelgeschwindigkeit, in rad/s.
• α: die Winkelbeschleunigung, in rad/s².

Maschinen geben Drehzahlen in Umdrehungen pro Minute (rpm) an. Rechne sie vor dem Berechnen um:

Ein Punkt im Abstand r von der Achse bewegt sich mit der Geschwindigkeit v = ω·r und hat entlang seiner Bahn die Beschleunigung a = α·r.

Alles, was du über geradlinige Bewegung weißt, hat einen drehenden Zwilling: Kraft wird zum Moment, Masse zum Massenträgheitsmoment, und ΣF = m·a wird zu ΣM = I·α.

2Das Massenträgheitsmoment

Die Masse sagt dir, wie schwer es ist, einen Körper in gerader Linie zu beschleunigen. Das Massenträgheitsmoment I sagt dir, wie schwer es ist, ihn in Drehung zu versetzen.

Masse weit von der Achse zählt viel mehr als Masse nahe an ihr, weil sie mit dem Quadrat ihres Abstands zählt:

Du musst die Teile nicht selbst aufsummieren. Lerne diese Standardergebnisse für den Massenmittelpunkt G:

• Schlanker Stab der Länge L, Achse durch die Mitte: m·L²/12.
• Vollscheibe oder Vollzylinder mit Radius R: ½·m·R².
• Dünner Ring oder Reifen: m·R².
• Vollkugel: (2/5)·m·R². Hohlkugel: (2/3)·m·R².
• Punktmasse im Abstand r: m·r².

Geht die Achse O nicht durch G, verwende den Steinerschen Satz (Satz von der Parallelverschiebung der Achse). Hier ist d der Abstand zwischen O und G:

Ein Stab, der sich um sein Ende dreht, hat d = L/2, also I_O = m·L²/12 + m·L²/4 = m·L²/3.

Manche Aufgaben geben statt einer Form einen Trägheitsradius k an. Dann ist I = m·k². Bei einem Körper aus mehreren Teilen bestimme das I jedes Teils um dieselbe Achse und addiere.

3Momente, Energie und Drehimpuls

Drei Werkzeuge lösen fast jede Rotationsaufgabe. Wähle das, das zur Frage passt.

1. Momente. Die Summe der Momente um die Achse ist gleich I·α. Verwende sie für Beschleunigungen und Kräfte.

Bei konstantem Drehmoment hat die Drehbewegung ein konstantes α, und die Gleichungen der Kinematik haben drehende Zwillinge: ω = ω₀ + α·t und ω² = ω₀² + 2·α·θ.

2. Energie. Ein rotierender Körper speichert kinetische Energie. Ein Drehmoment T, das sich über einen Winkel θ dreht, verrichtet Arbeit, und die Leistung einer drehenden Welle ist Drehmoment mal Winkelgeschwindigkeit:

Ein Körper, der ohne Gleiten rollt, bewegt sich und dreht sich gleichzeitig, mit v = ω·r. Er hat beide Arten kinetischer Energie:

Die Zahl c hängt nur von der Form ab: 0,4 für eine Vollkugel, 0,5 für einen Vollzylinder, 2/3 für eine Hohlkugel und 1 für einen Reifen. Auf einer Schräge ist a = g·sin θ / (1 + c).

3. Drehimpuls. L = I·ω. Wirkt um die Achse kein äußeres Moment, bleibt L gleich, selbst wenn Körper aneinander haften und kinetische Energie verloren geht:

4Das Verfahren Schritt für Schritt

1. Zeichne den Körper und wähle die Achse: den festen Drehpunkt oder die Welle, bei einem rollenden Körper den Mittelpunkt.
2. Bestimme das Massenträgheitsmoment um diese Achse. Verwende die Standardergebnisse und addiere m·d², wenn die Achse verschoben ist.
3. Rechne jede Drehzahl in rpm mit ω = 2π·n/60 in rad/s um.
4. Wähle das Werkzeug. Beschleunigungen und Kräfte: ΣM = I·α (mit ΣF = m·a für Teile, die sich geradlinig bewegen). Geschwindigkeiten nach einer Strecke oder einem Winkel: Energie. Stöße, plötzliches Greifen und Körper, die ihre Masse heranziehen: Drehimpuls.
5. Verknüpfe die geradlinige und die drehende Bewegung dort, wo ein Seil oder ein Rollkontakt sie verbindet: v = ω·r und a = α·r.
6. Löse und prüfe das Ergebnis, wenn möglich, mit einem zweiten Werkzeug.

Zeichne bei einem Körper, der an einem Seil um eine Rolle hängt, zwei Freikörperbilder: eines für den Block (Kräfte) und eines für die Rolle (Momente). Die Seilkraft kommt in beiden vor.

5Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

6Häufige Fehler

• Drehzahlen in rpm in ω, E = ½·I·ω² oder P = T·ω stehen lassen. Rechne zuerst in rad/s um.
• Das Massenträgheitsmoment um den Mittelpunkt für einen Körper verwenden, der sich um sein Ende dreht. Addiere m·d².
• Die kinetische Rotationsenergie eines rollenden Körpers oder einer Rolle vergessen.
• Eine Kugel oder Scheibe am Ende eines Stabes als Punktmasse behandeln. Addiere auch ihr eigenes I um ihren Mittelpunkt.
• Annehmen, die kinetische Energie bleibe erhalten, wenn Körper greifen oder haften. Verwende stattdessen den Drehimpuls.
• Umdrehungen im Bogenmaß zählen: N = θ/(2π).

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

• Leicht: Massenträgheitsmoment. Ein Stab um eine verschobene Achse, ein Pendel aus Stab und Kugel oder Scheibe, die kinetische Energie eines Schwungrads oder das Drehmoment oder die Zeit, um ein Schwungrad auf Drehzahl zu bringen.
• Mittel: ΣM = I·α, Arbeit und Leistung. Ein aus der Waagerechten losgelassener Stab, ein Block an einer Rolle, die Umdrehungen eines gebremsten Schwungrads, das Drehmoment oder die Leistung einer Welle oder die Geschwindigkeit eines schwingenden Stabes.
• Schwer: Rollen und Drehimpuls. Eine Kugel, ein Zylinder oder ein Reifen, der eine Schräge hinabrollt, die zum Rollen nötige Reibung, der Anteil der Rotationsenergie, ein auf eine rotierende Scheibe fallen gelassener Ring, eine Person, die Hanteln heranzieht, oder ein Geschoss, das einen hängenden Stab trifft.

Bei einem gebremsten Schwungrad verrichtet die Bremse Arbeit gleich der gespeicherten Energie: T·θ = ½·I·ω². Teile θ durch 2π, um die Umdrehungen zu erhalten.

Ein an einem Ende gelagerter und aus der Waagerechten losgelassener Stab hat unmittelbar nach dem Loslassen α = 3·g/(2·L). Sein freies Ende beschleunigt mit 1,5·g.

Bei einem Geschoss, das im Stab stecken bleibt, bleibt der Drehimpuls um den Drehpunkt erhalten: m·v·d = (I_Stab + m·d²)·ω.