Kontinuität und Bernoulli: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Bernoulli-Gleichung · Kontinuitätsgleichung
Kostenlose Übungsaufgaben zu Kontinuität und Bernoulli mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Kontinuität, waagerechte Verengung, steigendes Rohr.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Wasser fließt mit 0,75 m/s durch den weiten Abschnitt des Rohrs, der einen Durchmesser von 75 mm hat. Bestimme den Volumenstrom Q.
Halte den Daumen über das Ende eines Gartenschlauchs, und das Wasser spritzt schneller heraus. Dieselbe Wassermenge muss durch eine kleinere Öffnung, also muss sie schneller strömen.
Diese Idee ist die Kontinuität: In einem vollen Rohr kann sich Wasser nicht anstauen oder verschwinden. Was jede Sekunde hineinfließt, muss jede Sekunde wieder herausfließen.
Die zweite Idee, die Bernoulli-Gleichung, verbindet Geschwindigkeit, Druck und Höhe. Wo das Wasser schneller wird, sinkt sein Druck. Wo es nach oben steigt, sinkt sein Druck ebenfalls.
Zusammen lassen diese beiden Ideen dich Geschwindigkeit und Druck überall entlang eines Rohrs vorhersagen. In diesem Thema ist das Fluid inkompressibel (wie Wasser), und Reibungsverluste werden vernachlässigt.
Selbsttest Wasser fließt durch ein Rohr, das enger wird. Was geschieht mit seiner Geschwindigkeit im engen Teil?
Das Wasser bleibt stehen
Er bleibt gleich
Sie nimmt ab
Sie nimmt zu
Antwort: Sie nimmt zu. Dasselbe Volumen pro Sekunde muss durch eine kleinere Fläche, also muss das Wasser schneller strömen.
2Volumenstrom und Kontinuität
Der VolumenstromQ ist das Fluidvolumen, das pro Sekunde hindurchströmt, in m³/s. Ein Liter pro Sekunde (L/s) sind 0,001 m³/s.
Für ein Fluid, das mit der mittleren Geschwindigkeit v durch einen Querschnitt der Fläche A strömt:
Q = A · v A = π · d² / 4
Der Massenstrom ist ṁ = ρ · Q, in kg/s, wobei ρ die Dichte ist (1000 kg/m³ für Wasser).
Die Kontinuität besagt, dass Q in jedem Querschnitt des Rohrs gleich ist:
A1 · v1 = A2 · v2
Bei runden Rohren kürzt sich π/4 heraus, also gilt v2 = v1 · (d1 / d2)². Halbiert man den Durchmesser, strömt das Wasser viermal so schnell.
Selbsttest Ein Rohr verengt sich von 80 mm auf 40 mm. Das Wasser strömt im weiten Teil mit 1 m/s. Wie schnell strömt es im engen Teil?
0,25 m/s
2 m/s
4 m/s
8 m/s
Antwort: 4 m/s. v2 = 1 · (80/40)² = 4 m/s. Die Fläche hängt vom Quadrat des Durchmessers ab. Das Durchmesserverhältnis ohne Quadrat ergibt 2 m/s.
3Die Bernoulli-Gleichung
Entlang einer Stromlinie ohne Verluste bleibt die Energie pro Kubikmeter Fluid gleich. Sie hat drei Teile: Druck, Bewegung und Höhe.
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
p: der Druck, in Pa.
½ρv²: die kinetische Energie pro m³, ebenfalls in Pa.
ρgz: die Höhenenergie pro m³, wobei z die Höhe über einem beliebigen Bezugsniveau ist, das du wählst.
Wächst also ein Teil, muss ein anderer schrumpfen. Schnelleres Wasser hat niedrigeren Druck. Höher gelegenes Wasser hat niedrigeren Druck.
Ein nützlicher Sonderfall ist ein Tank, der durch ein kleines Loch in der Tiefe h unter der offenen Oberfläche ausläuft. Die Oberfläche bewegt sich kaum, und beide Punkte liegen auf Luftdruck, was das Torricelli-Gesetz ergibt:
v = √(2gh)
Selbsttest Ein offener Wassertank läuft durch ein kleines Loch 5 m unter der Wasseroberfläche aus. Wie schnell verlässt der Strahl das Loch, wenn du Verluste vernachlässigst? (g = 9,81 m/s²)
49,1 m/s
7,00 m/s
9,90 m/s
98,1 m/s
Antwort: 9,90 m/s. v = √(2 · 9,81 · 5) = √98,1 = 9,90 m/s. Ohne den Faktor 2 erhältst du 7,00 m/s, und ohne die Wurzel 98,1.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
Skizziere das Rohr und nummeriere zwei Querschnitte: 1 dort, wo du das meiste weißt, 2 dort, wo die Unbekannte liegt.
Rechne Einheiten um: mm in m, kPa in Pa, L/s in m³/s.
Bestimme die Flächen A = π·d²/4 und verwende die Kontinuität, um die fehlende Geschwindigkeit zu erhalten.
Schreibe Bernoulli zwischen den Querschnitten 1 und 2 auf. Bei einem waagerechten Rohr ist z1 = z2, die Höhenterme kürzen sich also heraus.
Löse nach der Unbekannten auf und rechne bei Bedarf zurück in kPa um.
Halte die Einheiten konsistent. Mit ρ in kg/m³ und v in m/s ergibt der Term ½ρv² Pa, nicht kPa.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes Beispiel
Wasser (ρ = 1000 kg/m³) strömt durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 100 mm auf 50 mm verengt. Im weiten Abschnitt beträgt der Druck 200 kPa und die Geschwindigkeit 1,5 m/s. Bestimme den Druck im engen Abschnitt, wenn du Verluste vernachlässigst.
1
Zeichne das Rohr
Abschnitt 1 ist der weite Teil, in dem alles bekannt ist. Abschnitt 2 ist der enge Teil.
2
Geschwindigkeit im engen Teil
Der Durchmesser halbiert sich, also wächst die Geschwindigkeit um den Faktor (100/50)² = 4:
v2 = 1,5 · (100 / 50)² = 6 m/s
3
Schreibe Bernoulli auf
Das Rohr ist waagerecht, also kürzen sich die Höhenterme heraus:
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²)
4
Setze in Pascal ein
½ · 1000 · (1,5² − 6²) = 500 · (2,25 − 36) = −16 875 Pa
p2 = 200 000 − 16 875 = 183 125 Pa ≈ 183,1 kPa
5
Antwort prüfen
Das Wasser ist im engen Teil schneller, also muss sein Druck niedriger sein. 183,1 kPa ist niedriger als 200 kPa, wie erwartet.
Der Volumenstrom beträgt in beiden Abschnitten Q = 0,007854 · 1,5 = 11,8 L/s.
Antwort
p2 ≈ 183,1 kPa im engen Abschnitt (v2 = 6 m/s).
6Häufige Fehler
Das Durchmesserverhältnis statt des Flächenverhältnisses verwenden: Die Geschwindigkeiten ändern sich mit dem Quadrat des Durchmessers.
Den Radius wie den Durchmesser in A = π·d²/4 einsetzen oder das /4 vergessen.
kPa und Pa vermischen. Rechne in der Bernoulli-Gleichung in Pa und wandle erst am Ende um.
m³/s als L/s angeben. Multipliziere m³/s mit 1000, um L/s zu erhalten.
Den Höhenterm ρ·g·Δz vergessen, wenn das Rohr steigt oder fällt.
Selbsttest Wasser strömt mit 2 m/s durch ein Rohr mit einem Innendurchmesser von 100 mm. Wie groß ist der Volumenstrom?
0,0157 L/s
15,7 L/s
20 L/s
62,8 L/s
Antwort: 15,7 L/s. A = π · 0,1²/4 = 0,007854 m², also Q = 0,007854 · 2 = 0,0157 m³/s = 15,7 L/s. Ohne das /4 erhältst du 62,8, und ohne π/4 erhältst du 20.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: Kontinuität. Bestimme einen Volumenstrom, einen Massenstrom, die Geschwindigkeit in einem engeren Abschnitt oder den Rohrdurchmesser für einen gegebenen Volumenstrom. Manche Fragen verwenden das Torricelli-Gesetz für einen auslaufenden Tank.
Mittel: ein waagerechter Reduzierer. Bestimme den Druck in einem Abschnitt aus dem anderen. Varianten verwenden ein Venturirohr, ein Pitotrohr (v = √(2Δp/ρ)) oder eine Blende mit Durchflusszahl.
Schwer: ein ansteigendes Rohr. Der Höhenterm zählt: Jeder Meter Anstieg senkt den Druck um ρ·g·1 = 9,81 kPa bei Wasser. Varianten sind ein Heber, ein Drucktank und eine Fontäne.
Im obigen Beispiel würde ein Anstieg von 5 m zwischen den Abschnitten p2 um weitere 1000 · 9,81 · 5 = 49 050 Pa auf 134,1 kPa senken.
Wasser fließt durch ein Rohr, dessen Durchmesser sich von 100 mm auf 50 mm verengt. Die Geschwindigkeit im weiten Abschnitt beträgt 2,75 m/s. Bestimme die Geschwindigkeit v2 im engen Abschnitt.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmv1 = 2,75 m/s
Gesucht: v2(m/s)
Tipps anzeigen
Durch jeden Querschnitt fließt pro Sekunde dasselbe Wasservolumen: Q = A·v.
A₁v₁ = A₂v₂, und die Fläche wächst mit d², also v₂ = v₁·(d₁/d₂)².
A1 = 0,007854 m².
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Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.
Kontinuität
Der Volumenstrom ist in beiden Abschnitten gleich.
A1v1 = A2v2
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(100/50)² = 11 m/s
Antwort
v2 = 11 m/s
Beispiel 2Mittel
Wasser fließt durch ein waagerechtes Rohr, das sich von 150 mm auf 50 mm verengt. Im weiten Abschnitt beträgt der Druck 250 kPa und die Geschwindigkeit 0,5 m/s. Bestimme ohne Verluste den Druck p2 im engen Abschnitt.
Bestimme zuerst mit der Kontinuität die Geschwindigkeit im engen Abschnitt.
Bernoulli für ein waagerechtes Rohr: p₁ + ½ρv₁² = p₂ + ½ρv₂².
v2 = 4,5 m/s.
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Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.
Kontinuität und Bernoulli
Rechne in Pa und teile dann durch 1000, um kPa zu erhalten.
Ein geschlossener Wasserbehälter enthält über dem Wasser Druckluft mit einem Überdruck von 190 kPa. Das Wasser tritt durch eine Öffnung mit 25 mm Durchmesser, 4 m unter dem Wasserspiegel, ins Freie aus. Bestimme unter Vernachlässigung von Verlusten den Volumenstrom Q. Verwende g = 9,81 m/s².
Bernoulli vom Wasserspiegel (Überdruck p, in Ruhe) bis zum Strahl (Atmosphärendruck).
p/ρ + gh = ½v², also v = √(2(p/ρ + gh)) mit p in Pa.
p/ρ + gh = 229,2 m²/s².
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Halte den Daumen über das Ende eines Gartenschlauchs, und das Wasser spritzt schneller heraus. Dieselbe Wassermenge muss durch eine kleinere Öffnung, also muss sie schneller strömen.
Diese Idee ist die Kontinuität: In einem vollen Rohr kann sich Wasser nicht anstauen oder verschwinden. Was jede Sekunde hineinfließt, muss jede Sekunde wieder herausfließen.
Kontinuität und Bernoulli: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Kontinuität und Bernoulli: Bei einem inkompressiblen Fluid ist der Volumenstrom in jedem Querschnitt gleich, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Entlang einer Stromlinie ohne Verluste ist p + ½ρv² + ρgz konstant, daher ist der Druck dort niedriger, wo das Fluid schneller oder höher ist.
Kontinuität und Bernoulli: Welche Fehler passieren am häufigsten?
Der Luftdruck drückt das Wasser ebenfalls hinaus: Berücksichtige p/ρ in der Bernoulli-Gleichung.
Auch die Wasserhöhe trägt zur Geschwindigkeit bei: v = √(2(p/ρ + gh)).
Kontinuität und Bernoulli: Was wird geübt?
Leicht: Kontinuität
Mittel: waagerechte Verengung
Schwer: steigendes Rohr
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.