Gaskreisprozesse: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Kostenlose Übungsaufgaben zu Gaskreisprozesse mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Otto-Prozess, Diesel-Prozess, Joule-Prozess (Brayton).

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
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Ein idealer Otto-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis von 10,5. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 295 K, und die höchste Temperatur im Prozess beträgt 1800 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r = 10,5T1 = 295 KT3 = 1800 Kk = 1,4cv = 0,718 kJ/(kg·K)
kJ/kg
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Was du übst

  1. LeichtOtto-Prozess
  2. MittelDiesel-Prozess
  3. SchwerJoule-Prozess (Brayton)

Wichtige Formeln

Isentrop, Volumenverhältnis
T2/T1 = rk−1
Isentrop, Druckverhältnis
T2/T1 = rp(k−1)/k
Otto-Wirkungsgrad
η = 1 − 1/rk−1
Diesel-Wirkungsgrad
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
Joule-Wirkungsgrad (Brayton)
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Zugeführte Wärme
Otto: cv(T3 − T2) Diesel, Joule (Brayton): cp(T3 − T2)
Nutzarbeit des Joule-Prozesses
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Isentrope Wirkungsgrade
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Kaltluft-Standard
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

Gaskreisprozesse von Grund auf lernen

Davor: Wärmekraftmaschinen und Kältemaschinen, Ideales Gasgesetz

1Was ein Gaskraftprozess ist

Automotoren und Gasturbinen sind Wärmekraftmaschinen, die Luft als Arbeitsgas verwenden. Die Luft wird verdichtet, durch brennenden Kraftstoff erhitzt, dehnt sich aus, während sie auf einen Kolben oder eine Turbine drückt, und wird dann ausgestoßen.

Reale Motoren sind kompliziert. Zur Berechnung verwenden Ingenieure das Luftstandard-Modell: Eine feste Luftmenge durchläuft einen geschlossenen Kreisprozess aus vier einfachen Schritten, und die Verbrennung des Kraftstoffs wird durch Wärmezufuhr ersetzt.

Mit den Annahmen des Kaltluftstandards ist die Luft ein ideales Gas mit konstanten Eigenschaften: k = cp/cv = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K).

Du begegnest drei Kreisprozessen:

  • Otto: der Ottomotor. Wärme wird bei konstantem Volumen zugeführt, wie ein Funke, der den Kraftstoff fast augenblicklich verbrennt.
  • Diesel: der Dieselmotor. Wärme wird bei konstantem Druck zugeführt, während sich der Kolben bewegt.
  • Brayton: die Gasturbine. Luft strömt durch einen Verdichter, eine Brennkammer und eine Turbine.

Die wichtigste Zahl eines Kolbenmotors ist sein Verdichtungsverhältnis r = v1/v2: das größte Volumen geteilt durch das kleinste.

Selbsttest Ein Zylinder fasst 0,5 L, wenn der Kolben unten steht, und 0,05 L, wenn er oben steht. Wie groß ist das Verdichtungsverhältnis?
  1. 0,1
  2. 0,45
  3. 10
  4. 9

Antwort: 10. r = größtes Volumen / kleinstes Volumen = 0,5/0,05 = 10. Teilst du andersherum, erhältst du 0,1, und die Differenz der Volumina (0,45 L) ist kein Verhältnis.

2Isentrope Schritte und der Otto-Prozess

Im idealen Kreisprozess laufen Verdichtung und Expansion ohne Reibung und ohne Wärmeaustausch ab. Einen solchen Schritt nennt man isentrop. Bei einem idealen Gas folgt die Temperatur dann dem Volumenverhältnis:

T2 / T1 = rk−1 = r0,4

Wird Luft auf ein Achtel ihres Volumens verdichtet, erwärmt sie sich von 300 K auf etwa 689 K. Deshalb braucht ein Dieselmotor keinen Funken.

Der Otto-Prozess hat vier Schritte, die in einem Druck-Volumen-Diagramm dargestellt werden:

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  1. 1 → 2: isentrope Verdichtung. T steigt um den Faktor r0,4.
  2. 2 → 3: Wärmezufuhr bei konstantem Volumen: qzu = cv·(T3 − T2).
  3. 3 → 4: isentrope Expansion. T sinkt um denselben Faktor r0,4.
  4. 4 → 1: Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen: qab = cv·(T4 − T1).

Die Nettoarbeit pro Kilogramm ist w = qzu − qab, und der Wirkungsgrad hängt nur vom Verdichtungsverhältnis ab:

ηOtto = 1 − 1 / rk−1
Selbsttest Wie groß ist der thermische Wirkungsgrad eines idealen Otto-Prozesses mit einem Verdichtungsverhältnis von 10? (k = 1,4)
  1. 39,8%
  2. 60,2%
  3. 90%
  4. 96,0%

Antwort: 60,2%. 100,4 = 2,512, also η = 1 − 1/2,512 = 60,2 %. Ohne den Exponenten erhältst du 1 − 1/10 = 90 %; 39,8 % ist 1/r0,4, der Teil, der verloren geht.

3Diesel- und Brayton-Prozess

Der Diesel-Prozess führt seine Wärme bei konstantem Druck zu. Das Volumen wächst bei der Erwärmung um das Einspritzverhältnis rc = v3/v2. Bei konstantem Druck wächst die Temperatur um denselben Faktor:

T3 = rc · T2 qin = cp · (T3 − T2)
ηDiesel = 1 − (1 / rk−1) · (rck − 1) / (k · (rc − 1))

Der Brayton-Prozess einer Gasturbine wird statt durch ein Volumenverhältnis durch das Druckverhältnis rp = p2/p1 beschrieben. Die isentrope Regel hat dann einen anderen Exponenten:

T2 / T1 = rp(k−1)/k = rp0,2857
ηBrayton = 1 − 1 / rp(k−1)/k

Der Verdichter nimmt Arbeit auf, und die Turbine gibt Arbeit ab. Die Nettoarbeit pro Kilogramm ist das, was übrig bleibt:

wnet = cp · [(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Selbsttest Wie groß ist der Wirkungsgrad eines idealen Brayton-Prozesses mit einem Druckverhältnis von 8? (k = 1,4)
  1. 44,8%
  2. 55,2%
  3. 56,5%
  4. 87,5%

Antwort: 44,8%. 80,2857 = 1,811, also η = 1 − 1/1,811 = 44,8 %. Mit dem Volumenexponenten 0,4 (der Otto-Formel) erhältst du 56,5 %, was für ein Druckverhältnis falsch ist.

4Das Verfahren Schritt für Schritt

  1. Bestimme den Prozess (Otto, Diesel oder Brayton) und nummeriere die vier Zustände von 1 bis 4, beginnend vor der Verdichtung.
  2. Rechne jede Temperatur in Kelvin um.
  3. Verdichtung 1 → 2: T2 = T1·r0,4 für ein Volumenverhältnis oder T1·rp0,2857 für ein Druckverhältnis.
  4. Wärmezufuhr 2 → 3: Verwende cv für Otto (konstantes Volumen), cp für Diesel und Brayton (konstanter Druck).
  5. Expansion 3 → 4: Teile T3 durch denselben Faktor (bei Diesel verwende v4/v3 = r/rc).
  6. Bestimme qab, dann w = qzu − qab und η = w/qzu. Vergleiche η zur Kontrolle mit der Formel für diesen Prozess.

5Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

Durchgerechnetes Beispiel

Ein idealer Otto-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis von 8. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 300 K, und die höchste Temperatur im Prozess beträgt 1800 K. Verwende die Annahmen des Kaltluftstandards (k = 1,4, cv = 0,718 kJ/(kg·K)). Bestimme den Wirkungsgrad und die Nettoarbeit pro Kilogramm Luft.

1

Zeichne den Kreisprozess

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Zustand 1 hat 300 K. Die höchste Temperatur liegt in Zustand 3, also T3 = 1800 K. Wir brauchen T2 und T4.

2

Verdichtung 1 → 2

r0,4 = 80,4 = 2,297
T2 = 300 · 2,297 = 689,2 K
3

Wärmezufuhr 2 → 3

Die Wärme wird bei konstantem Volumen zugeführt, also verwende cv:

qin = 0,718 · (1800 − 689,2) = 797,5 kJ/kg
4

Expansion und Wärmeabfuhr

T4 = 1800 / 2,297 = 783,5 K
qout = 0,718 · (783,5 − 300) = 347,1 kJ/kg
5

Nettoarbeit und Wirkungsgrad

w = 797,5 − 347,1 = 450,4 kJ/kg
η = 450,4 / 797,5 = 0,565 = 56,5%
6

Antwort prüfen

Die Otto-Formel ergibt η = 1 − 1/2,297 = 56,5 %. Das ist dasselbe, die Temperaturen stimmen also.

Antwort

η ≈ 56,5 % und w ≈ 450 kJ/kg.

6Häufige Fehler

  • °C in der isentropen Beziehung verwenden. T2/T1 = r0,4 funktioniert nur in Kelvin.
  • Den Exponenten k − 1 = 0,4 mit einem Druckverhältnis verwenden. Ein Druckverhältnis braucht (k − 1)/k = 0,2857.
  • cp für den Otto-Prozess oder cv für Diesel und Brayton verwenden. Konstantes Volumen gehört zu cv, konstanter Druck zu cp.
  • Die Verdichterarbeit im Brayton-Prozess vergessen: Die Nettoarbeit ist Turbinenarbeit minus Verdichterarbeit.
  • Den Exponenten k statt k − 1 verwenden.
Selbsttest Luft mit 27 °C wird isentrop mit einem Verdichtungsverhältnis von 8 verdichtet (k = 1,4). Welche Temperatur hat sie nach der Verdichtung?
  1. 2401 K
  2. 5514 K
  3. 62,0 K
  4. 689,6 K

Antwort: 689,6 K. T1 = 300,15 K, also T2 = 300,15 · 80,4 = 689,6 K. Mit 27 erhältst du 62,0, ohne den Exponenten 2401 K, und mit dem Exponenten 1,4 erhältst du 5514 K.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

  • Leicht: der Otto-Prozess. Bestimme seinen Wirkungsgrad aus r, die Temperatur T2 nach der Verdichtung oder die Nettoarbeit pro Kilogramm bei gegebener Höchsttemperatur.
  • Mittel: der Diesel-Prozess mit Verdichtungs- und Einspritzverhältnis. Bestimme T3 am Ende der Wärmezufuhr, die zugeführte Wärme qzu oder den Wirkungsgrad.
  • Schwer: der Brayton-Prozess einer Gasturbine. Bestimme den Wirkungsgrad aus dem Druckverhältnis oder die Nettoarbeit pro Kilogramm aus den Eintrittstemperaturen von Verdichter und Turbine.

Jede Aufgabe gibt die Werte des Kaltluftstandards erneut an. Du brauchst nur k = 1,4 und entweder cv oder cp.

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Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
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Ein idealer Otto-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis von 6. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 305 K, und die höchste Temperatur im Prozess beträgt 2000 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die Nutzarbeit w pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r = 6T1 = 305 KT3 = 2000 Kk = 1,4cv = 0,718 kJ/(kg·K)

Gesucht: w (kJ/kg)

Tipps anzeigen
  1. Bestimme T₂ nach der isentropen Verdichtung.
  2. qin = cv·(T₃ − T₂), η = 1 − 1/rk−1.
  3. T₂ = 624,5 K.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Otto-Prozess (Ottomotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Volumen, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1 und η = 1 − 1/rk−1. Zugeführte Wärme: qin = cv·(T₃ − T₂); Nutzarbeit w = η·qin.

Ende der Verdichtung

T2 = 305·60,4 = 624,5 K

Wärmezufuhr bei konstantem Volumen

qin = 0,718·(2000 − 624,5) = 987,6 kJ/kg

Nutzarbeit

η = 1 − 1/60,4 = 0,5116
w = η·qin = 0,5116·987,6 = 505,3 kJ/kg

Antwort

w = 505,3 kJ/kg
Beispiel 2Mittel
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Ein idealer Diesel-Prozess hat ein Verdichtungsverhältnis r = 16 und ein Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ = 2,2. Zu Beginn der Verdichtung hat die Luft 310 K. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme die zugeführte Wärme qin pro Kilogramm Luft in kJ/kg.

r = 16rc = 2,2T1 = 310 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)

Gesucht: qin (kJ/kg)

Tipps anzeigen
  1. Bestimme T₂ (isentrope Verdichtung) und T₃ = rc·T₂.
  2. qin = cp·(T₃ − T₂).
  3. T₂ = 939,7 K, T₃ = 2067 K.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Diesel-Prozess (Dieselmotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ und dem Einspritzverhältnis rc = v₃/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) und η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Temperaturen

T2 = 310·160,4 = 939,7 K
T3 = 2,2·939,7 = 2067 K

Wärmezufuhr bei konstantem Druck

qin = 1,005·(2067 − 939,7) = 1133 kJ/kg

Antwort

qin = 1133 kJ/kg
Beispiel 3Schwer
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Ein idealer Joule-Prozess (Brayton) arbeitet mit einem Verdichterdruckverhältnis von 20. Verwende die Annahmen des Kaltluft-Standards: Luft ist ein ideales Gas mit konstanten spezifischen Wärmekapazitäten, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) und cv = 0,718 kJ/(kg·K). Bestimme seinen thermischen Wirkungsgrad η in Prozent.

rp = 20k = 1,4

Gesucht: η (%)

Tipps anzeigen
  1. Der ideale Joule-Wirkungsgrad hängt nur vom Druckverhältnis und von k ab.
  2. η = 1 − 1/rp(k−1)/k.
  3. (k − 1)/k = 0,2857, rp0,2857 = 2,354.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Joule-Prozess (Brayton-Prozess, Gasturbine): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Druck, 3→4 isentrope Expansion in der Turbine, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Druck. Mit dem Druckverhältnis rp = P₂/P₁ gilt: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k und η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Nutzarbeit w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. Mit isentropen Wirkungsgraden braucht der Verdichter ws/ηc, und die Turbine liefert ηt·ws.

Thermischer Wirkungsgrad

η = 1 − 1/200,2857 = 1 − 1/2,354 = 57,51%

Antwort

η = 57,51%

Fragen und Antworten

Gaskreisprozesse: Worum geht es?

Automotoren und Gasturbinen sind Wärmekraftmaschinen, die Luft als Arbeitsgas verwenden. Die Luft wird verdichtet, durch brennenden Kraftstoff erhitzt, dehnt sich aus, während sie auf einen Kolben oder eine Turbine drückt, und wird dann ausgestoßen.

Reale Motoren sind kompliziert. Zur Berechnung verwenden Ingenieure das Luftstandard-Modell: Eine feste Luftmenge durchläuft einen geschlossenen Kreisprozess aus vier einfachen Schritten, und die Verbrennung des Kraftstoffs wird durch Wärmezufuhr ersetzt.

Gaskreisprozesse: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?

Otto-Prozess (Ottomotor): 1→2 isentrope Verdichtung, 2→3 Wärmezufuhr bei konstantem Volumen, 3→4 isentrope Expansion, 4→1 Wärmeabfuhr bei konstantem Volumen. Mit dem Verdichtungsverhältnis r = v₁/v₂ gilt: T₂ = T₁·rk−1 und η = 1 − 1/rk−1. Zugeführte Wärme: qin = cv·(T₃ − T₂); Nutzarbeit w = η·qin.

Gaskreisprozesse: Welche Fehler passieren am häufigsten?
  • Das ist die zugeführte Wärme. Nur der Anteil η davon wird zu Nutzarbeit.
  • Im Otto-Prozess wird die Wärme bei konstantem Volumen zugeführt: Verwende cv, nicht cp.
  • Die Wärme wird von Zustand 2 bis Zustand 3 zugeführt. Bestimme zuerst T2 nach der Verdichtung.
Gaskreisprozesse: Was wird geübt?
  • Leicht: Otto-Prozess
  • Mittel: Diesel-Prozess
  • Schwer: Joule-Prozess (Brayton)

Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.

So funktioniert das Üben

  • Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
  • Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
  • Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.

Themen davor und danach

Zuerst lernen

Wärmekraftmaschinen und KältemaschinenIdeales Gasgesetz

Rechner

Rechner für den Wirkungsgrad von Otto- und Joule-Prozess

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