Rahmen und Maschinen: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

1Was Rahmen und Maschinen sind

In einem Fachwerk ist jeder Stab ein gerader Stab mit Gelenken an beiden Enden und Lasten nur an den Knoten, sodass jeder Stab einfach auf Zug oder Druck beansprucht wird. Ein Rahmen ist anders: Mindestens ein Bauteil trägt Kräfte an drei oder mehr Punkten oder eine Last zwischen seinen Gelenken. Ein solches Bauteil wird auch auf Biegung beansprucht.

In diesem A-Rahmen sind die Schenkel AC und BC Mehrkraftstäbe: Jeder wird am Auflager, an der Zugstange und am Gelenk C belastet. Die Zugstange DE ist an beiden Enden gelenkig gelagert und trägt dazwischen nichts. Ein Rahmen, der sich bewegt und eine Eingangskraft in eine Ausgangskraft umsetzt, wie eine Zange, ein Hebel oder eine Zwinge, heißt Maschine.

2Zweikraftstäbe und Gelenkkräfte

Ein nur an zwei Gelenken belastetes Bauteil ist ein Zweikraftstab. Seine beiden Kräfte sind gleich groß, entgegengesetzt und liegen auf der Geraden durch die Gelenke. Er bringt also eine Unbekannte, den Betrag dieser Kraft, statt zweier Komponenten.

Wo zwei Bauteile an einem Gelenk zusammentreffen, drückt das Gelenk auf das eine Bauteil mit einer Kraft (C_x, C_y) und auf das andere mit der entgegengesetzten Kraft (−C_x, −C_y). Zeichne sie so, mit denselben Symbolen, in beide Freikörperbilder.

Jedes einzelne Bauteil liefert drei Gleichungen: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 und ΣM = 0. Bilde die Momente um ein Gelenk, an dem unbekannte Kräfte wirken, damit beide Komponenten wegfallen.

3Das Verfahren Schritt für Schritt

1. Zeichne den ganzen Rahmen und bestimme die Auflagerkräfte, wenn es höchstens drei Unbekannte gibt.
2. Markiere die Zweikraftstäbe: Ihre Kräfte wirken entlang der Linie zwischen ihren Gelenken.
3. Zerlege den Rahmen und zeichne jedes Mehrkraftbauteil einzeln, mit gleich großen, entgegengesetzten Gelenkkräften.
4. Bilde für jedes Bauteil die Momente um ein Gelenk, dann verwende ΣF_x = 0 und ΣF_y = 0. Füge die Komponenten erst am Ende zu einem Betrag zusammen: F = √(F_x² + F_y²).

4Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

5Maschinen: Zangen, Hebel und Kniehebel

Zeichne bei einer Maschine ein Teil und bilde die Momente um seinen Drehpunkt. Die Gelenkkraft fällt heraus, und Eingangs- und Ausgangskraft halten sich das Gleichgewicht:

Eine Zange mit der Hand 100 mm vom Gelenk und den Backen 25 mm davon vervielfacht die Kraft mit 100/25 = 4. Das Gelenk trägt dann beide Kräfte: An einer Hälfte zeigen sie auf gegenüberliegenden Seiten des Gelenks in dieselbe Richtung, also addieren sie sich.

In einem Kniehebel treffen sich zwei Lenker unter einem flachen Winkel θ. Jeder Lenker ist ein Zweikraftstab mit der Kraft F/(2 sin θ), und die Klemmkraft beträgt F/(2 tan θ). Je flacher die Lenker, desto größer die Kraft.

6Häufige Fehler

• Einen Stab mit einer Last zwischen seinen Gelenken als Zweikraftstab zu behandeln.
• Eine Gelenkkraft auf beiden verbundenen Bauteilen in dieselbe Richtung zu zeichnen.
• Die ganze Kraft einer schrägen Strebe als ihre Vertikalkomponente zu verwenden.
• Nur eine Komponente anzugeben, wenn der Betrag einer Gelenkkraft gefragt ist.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

• Leicht: Zweikraftstäbe und einfache Maschinen. Du bestimmst die Greifkraft einer Zange oder die Gelenkkraft, die Strebenkraft einer Wandkonsole, die Zugstangenkraft oder eine Auflagerkraft eines A-Rahmens oder die Ausgangskraft eines Winkelhebels.
• Mittel: Gelenkkräfte und Gestänge. Du bestimmst die Gelenkreaktion einer Konsole oder eines Winkelhebels, die Zugstangenkraft bei außermittiger Last, die Kraft eines Gelenks auf einen Schenkel, die Kraft in einem Stab eines Dreigelenkrahmens oder die Klemmkraft eines Kniehebels.
• Schwer: Rahmen mit mehreren Bauteilen. Du fügst einer Konsole eine Streckenlast hinzu, bestimmst die Seilkraft oder Gelenkreaktion eines Auslegers mit Eigengewicht, die Gelenkkraft bei außermittiger Last, eine Auflagerkraft bei horizontaler Last oder die Kraft, die eine Kniehebelpresse braucht.