Normalspannung und Dehnung: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

1Was Spannung ist

Ziehe an einem Stahlstab, und er leistet Widerstand. Ob er bricht, hängt nicht allein von der Kraft ab, sondern davon, wie viel Material diese Kraft mitträgt.

Ein dünner Draht und ein dickes Seil können dieselbe Last tragen. Der dünne Draht versagt viel wahrscheinlicher, weil jeder Quadratmillimeter von ihm mehr trägt.

Die Normalspannung σ (Sigma) ist die Kraft pro Flächeneinheit des Querschnitts. Die Kraft P wirkt entlang der Stabachse, daher spricht man von einer axialen Belastung.

Ingenieure rechnen in Newton und Millimetern. Ein Newton pro Quadratmillimeter ist ein Megapascal:

Rechne also zuerst kN in N um (× 1000). Für einen runden Stab mit dem Durchmesser d ist die Fläche ein Kreis:

2Dehnung und Hookesches Gesetz

Unter Last wird der Stab auch etwas länger. Diese Längenänderung ist die Verlängerung δ (Delta).

Die Dehnung ε (Epsilon) ist die Verlängerung geteilt durch die ursprüngliche Länge. Sie hat keine Einheit, weil sie mm pro mm ist:

Dehnungen in Metallen sind winzig und werden deshalb oft in Mikrodehnung angegeben: 1 µε = 10⁻⁶. Eine Dehnung von 0,0008 sind 800 µε.

Bei den meisten Werkstoffen sind Spannung und Dehnung proportional, solange die Last nicht zu groß ist. Das ist das Hookesche Gesetz:

E ist der Elastizitätsmodul, die Steifigkeit des Werkstoffs. Stahl hat E ≈ 200 GPa, Aluminium etwa 70 GPa. Da 1 GPa = 1000 MPa ist, hat Stahl E = 200 000 MPa.

Die Kombination der drei Formeln liefert direkt die Verlängerung:

3Das Verfahren Schritt für Schritt

1. Schreibe alle Werte in N und mm: P in N (kN × 1000), Längen in mm (m × 1000), E in MPa (GPa × 1000).
2. Bestimme die Fläche: A = π·d²/4 für einen runden Stab.
3. Bestimme die Spannung: σ = P/A, in MPa.
4. Bestimme die Dehnung: ε = σ/E. Multipliziere mit 10⁶, wenn die Antwort in µε verlangt ist.
5. Bestimme die Verlängerung: δ = ε·L, in mm.

Höre bei dem Schritt auf, nach dem die Aufgabe fragt. Die meisten Aufgaben brauchen nur die ersten zwei oder drei Schritte.

4Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

5Stäbe mit mehr als einem Abschnitt

Ein abgesetzter Stab besteht aus Abschnitten mit unterschiedlichen Durchmessern und manchmal unterschiedlichen Werkstoffen.

Schneide den Stab an beliebiger Stelle und betrachte den Teil rechts vom Schnitt. Nur P zieht an ihm, also trägt jeder Abschnitt dieselbe Kraft P.

Die Flächen sind verschieden, also sind auch die Spannungen verschieden. Der dünnste Abschnitt hat die größte Spannung.

Jeder Abschnitt dehnt sich für sich, mit seinem eigenen A, L und E. Die gesamte Verlängerung ist die Summe:

6Häufige Fehler

• Vergessen, kN in N umzurechnen, wodurch die Spannung 1000-mal zu klein wird.
• E in GPa neben einer Spannung in MPa verwenden. Schreibe E in MPa (GPa × 1000).
• π·d² oder π·d statt π·d²/4 für die Fläche eines Kreises verwenden.
• L in Metern lassen, obwohl δ in Millimetern herauskommen soll.
• P auf die Abschnitte eines abgesetzten Stabes aufteilen. Jeder Abschnitt trägt die volle Kraft P.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

• Leicht: Normalspannung. Ein runder Stab mit dem Durchmesser d trägt P; bestimme σ = P/A.
• Mittel: Dehnung und Verlängerung. Dazu sind L und der E-Modul des Werkstoffs gegeben; bestimme ε (in µε) oder δ (in mm).
• Schwer: ein abgesetzter Stab mit zwei Abschnitten, möglicherweise aus verschiedenen Werkstoffen. Bestimme die gesamte Verlängerung oder die größte Spannung.

Schreibe die Einheiten neben jede Zahl. Fast alle falschen Antworten in diesem Thema sind um den Faktor 1000 daneben.