Wärmeausdehnung-Rechner
Gib deine Werte ein. Ergebnis und vollständiger Lösungsweg aktualisieren sich während der Eingabe.
Ergebnis
Die α-Werte sind typische Werte nahe der Raumtemperatur; der genaue Wert hängt von der Legierung bzw. Güte ab.
Berechne, wie stark ein Bauteil wächst oder schrumpft, wenn sich seine Temperatur ändert. Wähle die lineare Ausdehnung für Längen, etwa bei Schienen, Rohren und Brückenfahrbahnen, oder die Volumenausdehnung für Volumina, wähle einen Werkstoff oder gib einen eigenen Koeffizienten ein und erhalte die Änderung, die Endgröße und, für einen Stab, der sich nicht bewegen kann, die thermische Spannung σ = E·α·ΔT.
Schritt-für-Schritt-Lösung
Längenausdehnungskoeffizient
Temperaturänderung
Längenänderung
Thermische Spannung bei unverschieblichen Enden
Wichtige Formeln
- Wärmedehnung
- εT = α·ΔT
- Dehnung
- ε = ΔL/L
So berechnest du die Wärmeausdehnung
- Bestimme die Temperaturänderung ΔT = T₂ − T₁. Eine Änderung um 1 °C entspricht einer Änderung um 1 K.
- Schlage den Längenausdehnungskoeffizienten α des Werkstoffs nach, zum Beispiel etwa 12 × 10⁻⁶/K für Stahl und 23 × 10⁻⁶/K für Aluminium.
- Längenänderung: ΔL = α·L₀·ΔT, wobei L₀ und ΔL in derselben Einheit angegeben werden.
- Volumenänderung: ΔV = β·V₀·ΔT, mit β ≈ 3α für einen Festkörper.
- Wenn die Enden festgehalten werden, kann sich der Stab nicht ausdehnen, und stattdessen baut sich eine Spannung σ = E·α·ΔT auf: Druck beim Erwärmen, Zug beim Abkühlen.
Fragen und Antworten
Warum ist β etwa 3α?
Ein Würfel mit der Seitenlänge L wird in jeder Richtung zu L(1 + αΔT), sein Volumen wird also V(1 + αΔT)³ ≈ V(1 + 3αΔT), weil αΔT sehr klein ist. Das gilt für isotrope Festkörper; Flüssigkeiten und Gase haben ihren eigenen Volumenausdehnungskoeffizienten.
Woher stammen die Werte von α?
Es sind typische Werte nahe der Raumtemperatur aus Standardtabellen, alle × 10⁻⁶/K: Baustahl 12, Edelstahl 17,3, Aluminium 23, Kupfer 17, Messing 19, Beton 12, Kalk-Natron-Glas 9 und PVC 52. Die tatsächlichen Werte hängen von der Legierung, der Güte oder der Mischung ab und ändern sich langsam mit der Temperatur; verwende daher den Wert, den dein Kurs oder dein Datenblatt vorgibt.
In welchen Einheiten gebe ich die Länge ein?
Gib L₀ in Metern ein; ΔL wird in Millimetern angegeben, weil die Änderung meist klein ist. Die Formel selbst funktioniert in jeder Einheit, solange L₀ und ΔL dieselbe verwenden.
Warum hängt die behinderte Spannung nicht von der Länge ab?
Die Spannung hängt von der Dehnung ab, an der der Stab gehindert wird, αΔT, und diese hängt nicht von der Länge ab. Eine vollständig eingespannte Stahlschiene von 1 m oder von 100 m erreicht bei einem Temperaturanstieg von 35 K dasselbe σ = E·α·ΔT = 84 MPa.
Wird ein Loch größer oder kleiner, wenn die Platte erwärmt wird?
Größer, und zwar um denselben Anteil wie der umgebende Werkstoff, als wäre das Loch mit demselben Werkstoff gefüllt. Deshalb lässt sich ein erwärmter Ring leichter über eine Welle schieben.
Übe es selbst
Normalspannung und Dehnung üben
Ein Rechner liefert das Ergebnis. In der Prüfung brauchst du die Methode: Übe sie mit neuen Aufgaben, Tipps und Musterlösungen.