Gerinneströmung (Manning): Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Kostenlose Übungsaufgaben zu Gerinneströmung (Manning) mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Geschwindigkeit im Gerinne, Durchfluss, erforderliches Gefälle.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
b = 1 my = 0,8 mn = 0,014

Wasser fließt gleichförmig 0,8 m tief in einem 1 m breiten Rechteckgerinne (rauer Beton, Manning n = 0,014). Das Sohlgefälle ist S = 0,0008. Bestimme mit der Manning-Gleichung in SI-Einheiten die mittlere Geschwindigkeit V.

b = 1 my = 0,8 mn = 0,014S = 0,0008
m/s
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Was du übst

  1. LeichtGeschwindigkeit im Gerinne
  2. MittelDurchfluss
  3. Schwererforderliches Gefälle

Wichtige Formeln

Manning-Gleichung
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Volumenstrom
Q = A·V
Hydraulischer Radius
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rechteck
A = b·y, P = b + 2y
Trapez (Böschungsneigung z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Kreisrohr, voll oder halb gefüllt
R = D/4
Erforderliches Gefälle
S = (n·Q/(A·R2/3))²

Gerinneströmung (Manning) von Grund auf lernen

1Was Gerinneströmung ist

Wasser in einem Fluss, einem Kanal, einem Entwässerungsgraben oder einem nicht vollgefüllten Abwasserkanal fließt mit einer freien Oberfläche, die zur Luft hin offen ist. Das ist Gerinneströmung.

Nichts pumpt das Wasser. Die Schwerkraft zieht es das Gefälle der Sohle hinab, und die Reibung an Sohle und Wänden hält es zurück.

Halten sich diese beiden die Waage, bleiben Wassertiefe und Geschwindigkeit entlang des Gerinnes gleich. Das nennt man gleichförmigen Abfluss, und ihn beschreibt die Manning-Gleichung.

Ingenieure verwenden sie, um drei Fragen zu beantworten: Wie schnell fließt das Wasser, wie viel Wasser kann ein Gerinne führen, und wie steil muss das Gerinne sein?

Selbsttest Welche zwei Effekte halten sich bei gleichförmiger Gerinneströmung die Waage?
  1. Das Gewicht des Wassers und sein Auftrieb
  2. Die Schwerkraft das Gefälle hinab und die Reibung an Sohle und Wänden
  3. Luftdruck und Wasserdruck
  4. Pumpendruck und Reibung

Antwort: Die Schwerkraft das Gefälle hinab und die Reibung an Sohle und Wänden. Das Sohlgefälle lässt die Schwerkraft das Wasser antreiben, und die raue Berandung bremst es. Halten sich beide die Waage, ändern sich Wassertiefe und Geschwindigkeit nicht mehr.

2Hydraulischer Radius und benetzter Umfang

Reibung wirkt nur dort, wo das Wasser das Gerinne berührt. Diese Berandung, um den Querschnitt herum gemessen, ist der benetzte Umfang P. Die freie Oberfläche berührt Luft und zählt daher nicht.

byA = b·yP = b + 2y

Die dicke Linie in der Abbildung ist P. Der schattierte Teil ist die Durchflussfläche A. Ihr Verhältnis ist der hydraulische Radius:

R = A / P
  • Rechteck mit Breite b und Tiefe y: A = b·y und P = b + 2y.
  • Trapez mit Böschungsneigung z:1 (z horizontal auf 1 vertikal): A = (b + z·y)·y und P = b + 2y·√(1 + z²).
  • Kreisrohr, voll oder halb voll fließend: R = D/4.

Ein großes R bedeutet viel Wasser bei wenig Berandung, also weniger Reibung pro Liter und schnellere Strömung.

Selbsttest Ein Rechteckgerinne ist 4 m breit und das Wasser ist 1 m tief. Wie groß ist der hydraulische Radius R?
  1. 0,5 m
  2. 0,667 m
  3. 1 m
  4. 4 m

Antwort: 0,667 m. A = 4 · 1 = 4 m² und P = 4 + 2 · 1 = 6 m, also R = 4/6 = 0,667 m. Wird die freie Oberfläche in P eingerechnet (P = 8 m), erhält man 0,5 m, und 1 m ist die Tiefe, nicht R.

3Manning-Gleichung

In SI-Einheiten ist die mittlere Geschwindigkeit bei gleichförmigem Abfluss:

V = (1/n) · R2/3 · S1/2
  • n ist der Manning-Rauheitsbeiwert. Glatter fertiger Beton hat etwa 0,012, Mauerwerk 0,015, sauberer Erdboden 0,022, grasbewachsener Erdboden 0,03. Rauer bedeutet größeres n und langsameres Wasser.
  • R ist der hydraulische Radius in m.
  • S ist das Sohlgefälle in m/m, eine reine Zahl. Ein Höhenunterschied von 1,5 m pro Kilometer ist S = 1,5/1000 = 0,0015.

Der Durchfluss (Abfluss) ist die Geschwindigkeit mal die Durchflussfläche:

Q = A · V

Um das nötige Gefälle eines Gerinnes zu finden, kombiniere beide Gleichungen und löse nach S auf:

S = (n · Q / (A · R2/3))²
Selbsttest Die Sohle eines Gerinnes fällt auf 1 km um 2 m. Welches Gefälle S verwendest du in der Manning-Gleichung?
  1. 0,0002
  2. 0,002
  3. 0,02
  4. 2

Antwort: 0,002. S = Höhenunterschied/Länge = 2 m / 1000 m = 0,002. Das Gefälle hat keine Einheit, die Meter müssen sich also kürzen.

4Das Verfahren Schritt für Schritt

  1. Skizziere den Querschnitt und schreibe b, y, z (bei Trapezprofil), n und S auf.
  2. Bestimme die Durchflussfläche A.
  3. Bestimme den benetzten Umfang P: Sohle plus benetzte Seiten, niemals die freie Oberfläche.
  4. Hydraulischer Radius: R = A/P.
  5. Manning: V = (1/n)·R2/3·S1/2.
  6. Ist der Durchfluss gefragt: Q = A·V. Ist das Gefälle gefragt, verwende S = (n·Q/(A·R2/3))².

Auf dem Taschenrechner ist R2/3 gleich R^(2/3), mit Klammern. Berechne R2/3 und √S getrennt, bevor du multiplizierst.

5Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

Durchgerechnetes Beispiel

Wasser fließt gleichförmig 1 m tief in einem 3 m breiten rechteckigen Mauerwerksgerinne (Manning n = 0,015). Das Sohlgefälle ist S = 0,001. Bestimme die mittlere Geschwindigkeit V und den Durchfluss Q.

1

Den Querschnitt betrachten

b = 3 my = 1 mn = 0,015S = 0,001

Es ist ein Rechteck, also A = b·y und P = b + 2y.

2

Fläche und benetzter Umfang

A = 3 · 1 = 3 m²
P = 3 + 2 · 1 = 5 m
3

Hydraulischer Radius

R = A/P = 3/5 = 0,6 m

Dann ist R2/3 = 0,62/3 = 0,7114.

4

Manning-Gleichung

√S = √0,001 = 0,03162.

V = (1/0,015) · 0,7114 · 0,03162 = 1,50 m/s
5

Volumenstrom

Q = A · V = 3 · 1,50 = 4,50 m³/s
6

Antwort prüfen

Ausgekleidete Gerinne werden meist mit 1 bis 3 m/s betrieben, 1,50 m/s ist also sinnvoll. Eine rauere Erdauskleidung (n = 0,022) würde bei gleichem Gefälle eine kleinere Geschwindigkeit ergeben.

Antwort

V = 1,50 m/s und Q = 4,50 m³/s.

6Häufige Fehler

  • Die Tiefe y statt des hydraulischen Radius R verwenden.
  • Die freie Oberfläche in den benetzten Umfang einrechnen.
  • Bei einem Trapez jede Seite als y lang annehmen. Die benetzte Seite ist y·√(1 + z²).
  • S statt √S verwenden oder beim Auflösen nach S am Ende das Quadrieren vergessen.
  • Ein Gefälle in m/km wie m/m verwenden.
  • V angeben, wenn Q gefragt ist: Multipliziere mit der Fläche.
Selbsttest Rechteckgerinne: b = 4 m, y = 1 m, n = 0,02, S = 0,0016. Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit V?
  1. 0,061 m/s
  2. 1,26 m/s
  3. 1,53 m/s
  4. 2,00 m/s

Antwort: 1,53 m/s. R = 4/6 = 0,667 m, also V = (1/0,02) · 0,667^(2/3) · 0,04 = 1,53 m/s. Mit der Tiefe als R erhält man 2,00 m/s, und wird die freie Oberfläche in P eingerechnet, erhält man 1,26 m/s.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

  • Leicht: Geschwindigkeit in einem Rechteckgerinne. Manchmal ist das Gefälle als Höhenunterschied pro Kilometer gegeben.
  • Mittel: der Durchfluss Q in einem Rechteck- oder Trapezgerinne oder in einem voll oder halb voll fließenden Rohr (R = D/4).
  • Schwer: das Sohlgefälle, das ein Gerinne für einen gegebenen Durchfluss Q braucht, oder das Gefälle eines Abwasserkanals für eine gegebene Geschwindigkeit.

Trapezbeispiel: b = 2 m, y = 1 m, Böschungsneigung 2:1, n = 0,022, S = 0,001. A = (2 + 2·1)·1 = 4 m² und P = 2 + 2·1·√5 = 6,47 m, also R = 0,618 m.

V = (1/0,022) · 0,6182/3 · √0,001 = 1,04 m/s, Q = 4 · 1,04 = 4,17 m³/s

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Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
b = 2,5 my = 1 mn = 0,022

Wasser fließt gleichförmig 1 m tief in einem 2,5 m breiten Rechteckgerinne (sauberes Erdreich, Manning n = 0,022). Die Sohle fällt um 4 m pro Kilometer. Bestimme mit der Manning-Gleichung in SI-Einheiten die mittlere Geschwindigkeit V.

b = 2,5 my = 1 mn = 0,022Gefälle = 4 m/km

Gesucht: V (m/s)

Tipps anzeigen
  1. Bestimme den hydraulischen Radius R = A/P für den benetzten Querschnitt.
  2. Das Gefälle ist der Höhenunterschied geteilt durch die Länge: S = 4/1000.
  3. R = 0,5556 m.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.

Hydraulischer Radius

A = b·y = 2,5·1 = 2,5 m²
P = b + 2y = 2,5 + 2·1 = 4,5 m
R = A/P = 0,5556 m

Steigung

S = 4/1000 = 0,004

Manning-Gleichung

V = (1/n)·R2/3·S1/2 = (1/0,022)·0,55562/3·0,0041/2 = 1,943 m/s

Antwort

V = 1,943 m/s
Beispiel 2Mittel
D = 300 mmn = 0,013, S = 0,0005

Ein Regenwasserkanal aus Beton mit einem Innendurchmesser von 300 mm läuft gerade voll (als Freispiegelleitung, nicht unter Druck). Manning n = 0,013, und das Gefälle ist S = 0,0005. Bestimme den Durchfluss Q in m³/s.

D = 300 mmn = 0,013S = 0,0005

Gesucht: Q (m³/s)

Tipps anzeigen
  1. Voll gefüllt: A = π·D²/4 und P = π·D.
  2. In beiden Fällen R = A/P = D/4 = 0,075 m.
  3. Bestimme V mit Manning, dann Q = A·V.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.

Geometrie

A = 0,07069 m², R = D/4 = 0,075 m

Geschwindigkeit

V = (1/0,013)·0,0752/3·0,00051/2 = 0,3059 m/s

Volumenstrom

Q = A·V = 0,07069·0,3059 = 0,02162 m³/s

Antwort

Q = 0,02162 m³/s
Beispiel 3Schwer
b = 2,5 my = 1,8 mn = 0,03, Q = 2,7 m³/s

Ein 2,5 m breites Rechteckgerinne (Erdreich mit Grasbewuchs) soll bei gleichförmiger Strömung mit einer Tiefe von 1,8 m 2,7 m³/s abführen. Manning n = 0,03. Bestimme das erforderliche Sohlgefälle S (in m/m).

Q = 2,7 m³/sb = 2,5 my = 1,8 mn = 0,03

Gesucht: S (m/m)

Tipps anzeigen
  1. Kombiniere Q = A·V mit Manning: Q = (1/n)·A·R2/3·S1/2.
  2. A = 4,5 m², R = 0,7377 m.
  3. Löse nach S auf: S = (n·Q/(A·R2/3))².
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.

Geometrie

A = b·y = 2,5·1,8 = 4,5 m²
P = b + 2y = 2,5 + 2·1,8 = 6,1 m
R = A/P = 0,7377 m

Manning nach S auflösen

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,03·2,7/(4,5·0,8164) = 0,02205
S = 0,02205² = 0,0004861

Antwort

S = 0,0004861

Das ist ein Gefälle von 0,4861 m pro Kilometer.

Fragen und Antworten

Gerinneströmung (Manning): Worum geht es?

Wasser in einem Fluss, einem Kanal, einem Entwässerungsgraben oder einem nicht vollgefüllten Abwasserkanal fließt mit einer freien Oberfläche, die zur Luft hin offen ist. Das ist Gerinneströmung.

Nichts pumpt das Wasser. Die Schwerkraft zieht es das Gefälle der Sohle hinab, und die Reibung an Sohle und Wänden hält es zurück.

Gerinneströmung (Manning): Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?

Manning-Gleichung (SI): Für gleichförmige Strömung in einem offenen Gerinne gilt V = (1/n)·R2/3·S1/2 und Q = A·V, mit dem Rauheitsbeiwert n, dem Sohlgefälle S (m/m) und dem hydraulischen Radius R = A/P: Fließquerschnitt geteilt durch benetzten Umfang. In P zählt nur der Rand, der mit dem Wasser in Berührung ist, nicht der Wasserspiegel. Rechteck: A = b·y, P = b + 2y. Trapez mit Böschungsneigung z:1 (horizontal:vertikal): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Ein voll oder halb gefülltes Kreisrohr hat R = D/4.

Gerinneströmung (Manning): Welche Fehler passieren am häufigsten?
  • Verwende den hydraulischen Radius R = A/P, nicht die Wassertiefe. Die Tiefe ist nur bei sehr breiten Gerinnen eine gute Näherung.
  • Der Wasserspiegel gehört nicht zum benetzten Umfang: P = b + 2y.
  • Das Gefälle ist dimensionslos: 4 m auf 1000 m ergibt S = 0,004.
Gerinneströmung (Manning): Was wird geübt?
  • Leicht: Geschwindigkeit im Gerinne
  • Mittel: Durchfluss
  • Schwer: erforderliches Gefälle

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So funktioniert das Üben

  • Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
  • Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
  • Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.

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