Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Aluminium, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 25 mm, E = 200 GPa, zulässige Spannung 150 MPa) steckt in einem Rohr aus Messing (Außendurchmesser 100 mm, Innendurchmesser 70 mm, E = 100 GPa, zulässige Spannung 100 MPa). Sie werden zwischen starren Platten zusammengedrückt. Bestimme die größte Last P_max.

Stab: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaRohr: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Messing ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 500 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle soll 50 kW bei 1500 U/min übertragen, ohne dass die Schubspannung 80 MPa überschreitet. Bestimme den kleinsten geeigneten Durchmesser d.

P = 50 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme die Querkraft V_x im Schnitt x = 3 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 10 mw = 8 kN/m von 0 bis 10 mx = 3 m

V_x = kN

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 1 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 10 mP = 60 kN bei 1 mw = 2 kN/m von 0 bis 10 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein geschweißter I-Querschnitt hat einen Obergurt 160 × 10 mm, einen Steg mit 300 mm Höhe und 14 mm Dicke sowie einen Untergurt 260 × 18 mm (Breite × Dicke). Bestimme sein Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse x durch seinen Schwerpunkt.

Obergurt: 160 × 10 mmSteg: 14 × 300 mmUntergurt: 260 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = 120 MPa, σᵧ = 0 MPa und τₓᵧ = 60 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_s zwischen −90° und 90° von der x-Achse zur Normalen der Ebene, in der die Schubspannung ihren größten positiven Wert +R hat (Schub positiv im gleichen Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −80 MPa, σᵧ = 110 MPa und τₓᵧ = 10 MPa (Zug positiv). Bestimme die Schubspannung τ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 20° im Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist (positiv im selben Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = −80 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (Holz)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment I_req, das diese Grenze einhält.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (Stahl)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (Stahl)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (Stahl)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 1920 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 95·1000/706,9 = 134,4 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 134,4/70000 = 0,00192 = 1920 µε

Antwort

ε = 1920 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P_max = 374 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·4006 = 4,987 × 10⁸ N

Maßgebende Dehnung

ε = min(0,00075, 0,001) = 0,00075 (Stahl)

Größte Last

P_max = 0,00075·4,987 × 10⁸ = 374046 N = 374 kN

Antwort

P_max = 374 kN

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 15,32 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(39000·38350) = 0,2674 rad

φ = 0,2674·180/π = 15,32°

Antwort

φ = 15,32°

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 27,26 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Durchmesser aus der zulässigen Spannung

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·318310/(π·80)) = 27,26 mm

Antwort

d = 27,26 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: V_x = 16 kN

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, angreifend bei x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 8·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Schnitt bei x = 3 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

V = R_A − (alle Lasten nach unten links vom Schnitt)

V_x = 40 − 8·3 = 16 kN

Antwort

V_x = 16 kN

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 63 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, angreifend bei x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·1 + 2·10·5

R_B = 160/10 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 16 = 64 kN

Schnitt bei x = 1 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 64·1 − 2·1·0,5 = 63 kN·m

Antwort

M_x = 63 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 62,53 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

Steg: A_w = 18·240 = 4320 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·255 + 4320·120)/9120 = 191,1 mm

Satz von Steiner

Flansch: 160·30³/12 + 4800·(255 − 191,1)² = 1,999 × 10⁷ mm⁴

Steg: 18·240³/12 + 4320·(120 − 191,1)² = 4,255 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,999 × 10⁷ + 4,255 × 10⁷ = 6,253 × 10⁷ mm⁴ = 62,53 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 62,53 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 164,9 × 10⁶ mm⁴

In drei Rechtecke aufteilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Obergurt: A = 1600 mm², y = 323 mm

Steg: A = 4200 mm², y = 168 mm

Untergurt: A = 4680 mm², y = 9 mm

Schwerpunkt

ȳ = (1600·323 + 4200·168 + 4680·9)/10480 = 120,7 mm

Satz von Steiner

Obergurt: 160·10³/12 + 1600·202,3² = 6,552 × 10⁷ mm⁴

Steg: 14·300³/12 + 4200·47,34² = 4,091 × 10⁷ mm⁴

Untergurt: 260·18³/12 + 4680·111,7² = 5,848 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,552 × 10⁷ + 4,091 × 10⁷ + 5,848 × 10⁷

I_x = 1,649 × 10⁸ mm⁴ = 164,9 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 164,9 × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_s = −22,5 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Im Mohrschen Kreis liegt der höchste Punkt (+R) 90° vom Hauptspannungspunkt σ₁ entfernt; am Element sind das 45°.

cos 2θ_s = 60/84,85 = 0,7071, sin 2θ_s = −60/84,85 = −0,7071

2θ_s = atan2(−60, 60) = −45°

Winkel am Element

θ_s = −22,5°

Probe: θ_s − θ_p = −22,5 − 22,5 = −45°

Antwort

θ_s = −22,5°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_θ = −53,4 MPa

Transformationsgleichung

τ_θ = −−95·−0,6428 + 10·0,766 = −53,4 MPa

Antwort

τ_θ = −53,4 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 21,65 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 4000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 21,65 mm

Antwort

δ_max = 21,65 mm

12.Durchbiegung

Antwort: I_req = 6 × 10⁶ mm⁴

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4000⁴/(384·200000·11,11) = 6 × 10⁶ mm⁴

I_req = 6 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_req = 6 × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 225 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/4200² = 224989 N = 225 kN

Antwort

P_cr = 225 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 21,93 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/5 = 300

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Antwort

σ_cr = 21,93 MPa

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