Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 25 mm, E = 200 GPa) steckt in einem Rohr aus Aluminium (Außendurchmesser 80 mm, Innendurchmesser 60 mm, E = 70 GPa). Beide sind 800 mm lang und werden zwischen starren Platten mit 100 kN zusammengedrückt. Bestimme die Verkürzung δ.

P = 100 kNStab: Ø25 mm, E = 200 GPaRohr: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Segment aus Stahl (Durchmesser 30 mm, Länge 600 mm, E = 200 GPa) und ein Segment aus Messing (Durchmesser 60 mm, Länge 200 mm, E = 100 GPa) sind stumpf verbunden und zwischen zwei starren Wänden eingespannt. Am Übergang wirkt eine axiale Last von 100 kN in Richtung Segment 2. Bestimme den Betrag der Spannung σ₂ in Segment 2.

Segment 1: Stahl, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaSegment 2: Messing, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Aluminium mit 2,5 m Länge überträgt ein Drehmoment von 100 N·m. Der Verdrehwinkel zwischen ihren Enden darf 2° nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der diese Grenze einhält.

T = 100 N·mL = 2,5 mG = 26 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle soll 30 kW bei 1500 rpm übertragen. Ihr Innendurchmesser soll das 0,8-Fache ihres Außendurchmessers betragen, und die Schubspannung darf 80 MPa nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Außendurchmesser d_o.

P = 30 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

35 kN @ 2 m4 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 2,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 6 mP = 40 kN bei 2,5 mw = 12 kN/m von 0 bis 6 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Eine Platte von 150 mm × 150 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 50 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 60 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 150 mmh = 150 mmd = 50 mmLochmittelpunkt: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Eine Platte von 150 mm × 300 mm hat einen rechteckigen Ausschnitt von 40 mm Breite und 30 mm Höhe, der auf der vertikalen Mittellinie sitzt und dessen Mittelpunkt 90 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 150 mmh = 300 mmAusschnitt: 40 × 30 mmLochmittelpunkt: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −70 MPa, σᵧ = 50 MPa und τₓᵧ = −60 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

σ_x = −70 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 10 MPa, σᵧ = 60 MPa und τₓᵧ = −30 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 45° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = 10 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (Holz)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

P = 29 kNw = 8 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (Holz)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Sie muss 25 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 25 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 0,3173 mm

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·2199 = 2,521 × 10⁸ N

Verkürzung

δ = 100000·800/2,521 × 10⁸ = 0,3173 mm

Antwort

δ = 0,3173 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ₂ = 30,32 MPa

Steifigkeiten

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 100000·2827/200 = 1,414 × 10⁶ N/mm

Anteil von Segment 2

F₂ = 100000·1,414 × 10⁶/1,649 × 10⁶ = 85714 N

Spannung

σ₂ = 85714/2827 = 30,32 MPa (Druck)

Antwort

σ₂ = 30,32 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: d = 40,93 mm

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Erforderliches polares Flächenträgheitsmoment

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 100000·2500/(26000·0,03491) = 275460 mm⁴

Durchmesser

d = (32J/π)^1/4 = 40,93 mm

Antwort

d = 40,93 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

4.Torsion von Wellen

Antwort: d_o = 27,41 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Außendurchmesser aus der zulässigen Spannung

T = 191 N·m = 190986 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·80·0,5904)) = 27,41 mm

d_i = 0,8·27,41 = 21,93 mm

Antwort

d_o = 27,41 mm

Eine Vollwelle bräuchte d = 22,99 mm; die Hohlwelle ist etwas größer, aber viel leichter.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: C (x = 2 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 34 kN, R₂ = 17 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 32, M_C = 60 kN·m, M_D = 49, M_E = 34, M_F = 17, M_G = 0

Antwort

Markierung C: M_C = 60 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 110,8 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, angreifend bei x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·2,5 + 12·6·3

R_B = 316/6 = 52,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 112 − 52,67 = 59,33 kN

Schnitt bei x = 2,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 59,33·2,5 − 12·2,5·1,25 = 110,8 kN·m

Antwort

M_x = 110,8 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 41,4 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat I_c = bh³/12 und ein Kreis I_c = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (22500·75 − 1963·60)/(22500 − 1963) = 76,43 mm

Volle Platte um ȳ

150·150³/12 + 22500·−1,434² = 42,23 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−16,43² = 0,8371 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 41,4 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 41,4 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 333 × 10⁶ mm⁴

Schwerpunkt

ȳ = (45000·150 − 1200·90)/(45000 − 1200) = 151,6 mm

Volle Platte um ȳ

150·300³/12 + 45000·−1,644² = 337,6 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

40·30³/12 + 1200·−61,64² = 4,65 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 333 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 333 × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 84,85 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Radius des Mohrschen Kreises

τ_max = R = √(((−70 − 50)/2)² + −60²) = 84,85 MPa

Antwort

τ_max = 84,85 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = 5 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = 35 + −25·0 + −30·1 = 5 MPa

Antwort

σ_θ = 5 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 5,707 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 5,707 mm

Antwort

δ_max = 5,707 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 1,944 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 29000 N, w = 8 N/mm, L = 1500 mm, EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(48EI) = 29000·1500³/(48·1,32 × 10¹²) = 1,545 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·1500⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 0,3995 mm

Addieren

δ_max = 1,545 + 0,3995 = 1,944 mm

Antwort

δ_max = 1,944 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 7,369 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/2500² = 7369 N = 7,369 kN

Antwort

P_cr = 7,369 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 31,71 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2·25000 = 50000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 31,71 mm

Antwort

d = 31,71 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 176,6, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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