Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 30 mm, E = 200 GPa) steckt in einem Rohr aus Messing (Außendurchmesser 120 mm, Innendurchmesser 50 mm, E = 100 GPa). Beide sind 800 mm lang und werden zwischen starren Platten mit 100 kN zusammengedrückt. Bestimme die Verkürzung δ.

P = 100 kNStab: Ø30 mm, E = 200 GPaRohr: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 40 mm, E = 200 GPa, zulässige Spannung 150 MPa) steckt in einem Rohr aus Aluminium (Außendurchmesser 120 mm, Innendurchmesser 70 mm, E = 70 GPa, zulässige Spannung 50 MPa). Sie werden zwischen starren Platten zusammengedrückt. Bestimme die größte Last P_max.

Stab: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaRohr: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Torsion von WellenMittel

Eine abgesetzte Vollwelle aus Stahl ist in A eingespannt. Abschnitt AB hat 75 mm Durchmesser und 1,2 m Länge; Abschnitt BC hat 50 mm Durchmesser und 1,5 m Länge. Am freien Ende C wirkt ein Drehmoment von 1500 N·m. Bestimme den Verdrehwinkel φ_C des Endes C in Grad.

T = 1500 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 50 mm, L₂ = 1,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Messing mit 50 mm Durchmesser ist in A eingespannt. In B, 2 m von A entfernt, wirkt ein Drehmoment von 400 N·m, und am freien Ende C, weitere 1,2 m entfernt, wirkt ein Drehmoment von 100 N·m im entgegengesetzten Drehsinn. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

d = 50 mmT_B = 400 N·mT_C = 100 N·mAB = 2 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

35 kN @ 4 m40 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

50 kN @ 12 m25 kN @ 4 m5 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein U-Profil liegt mit der offenen Seite nach oben: eine Bodenplatte von 180 mm Breite mit zwei senkrechten Schenkeln, insgesamt 180 mm hoch. Boden und Schenkel sind alle 14 mm dick. Bestimme die Höhe ȳ des Schwerpunkts über der Unterkante.

b = 180 mmh = 180 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 15 kN·m. Bestimme die Biegespannung σ_unten an der Unterkante.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mmM = 15 kN·m

σ_unten = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 110 MPa und τₓᵧ = 60 MPa, mit σ_z = 0. Bestimme die absolut größte Schubspannung τ_abs im Punkt (unter Berücksichtigung aller Ebenen im Raum).

σ_x = 140 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Eine Vollwelle mit 40 mm Durchmesser überträgt eine axiale Zugkraft von 20 kN zusammen mit einem Drehmoment von 200 N·m. Bestimme an der Oberfläche der Welle die größte Hauptspannung σ₁.

d = 40 mmF = 20 kNT = 200 N·m

σ₁ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 1,5 m von A. Bestimme die Durchbiegung δ_P unter der Last.

P = 25 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 200 GPa (Stahl)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment I_req, das diese Grenze einhält.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (Holz)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Sie muss 5 kN mit einer Sicherheit von 2,5 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 5 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 0,07435 mm

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·9346 = 1,076 × 10⁹ N

Verkürzung

δ = 100000·800/1,076 × 10⁹ = 0,07435 mm

Antwort

δ = 0,07435 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P_max = 552,6 kN

Flächen

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·7461 = 7,736 × 10⁸ N

Maßgebende Dehnung

ε = min(0,00075, 0,0007143) = 0,0007143 (Aluminium)

Größte Last

P_max = 0,0007143·7,736 × 10⁸ = 552584 N = 552,6 kN

Antwort

P_max = 552,6 kN

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ_C = 3,041 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polare Flächenträgheitsmomente

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Verdrehung jedes Abschnitts

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1,5 × 10⁶·1200/(80000·3,106 × 10⁶) = 0,007243 rad

φ_BC = 1,5 × 10⁶·1500/(80000·613592) = 0,04584 rad

Gesamtverdrehung

φ_C = 0,007243 + 0,04584 = 0,05308 rad = 3,041°

Antwort

φ_C = 3,041°

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 12,22 MPa

Innere Drehmomente

Drehsinn von T_C als positiv angenommen.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 400 = −300 N·m

Maximale Schubspannung

Der Abschnitt mit dem größten inneren Drehmoment hat die größte Spannung (gleicher Durchmesser).

|T|_max = 300 N·m

τ_max = 16·300000/(π·50³) = 12,22 MPa

Antwort

τ_max = 12,22 MPa

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 4 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 18,33 kN, R₂ = 56,67 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 18,33, M_C = 36,67, M_D = 55, M_E = 73,33 kN·m, M_F = 56,67, M_G = 0

Antwort

Markierung E: M_E = 73,33 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 8 m)

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 7,5 kN, R₂ = 107,5 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 5, M_C = −10, M_D = −95, M_E = −200 kN·m, M_F = −100, M_G = 0

Antwort

Markierung E: M_E = −200 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: ȳ = 65,36 mm

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In Rechtecke aufteilen

Nimm den Boden über die ganze Breite und die beiden Schenkel darüber (Höhe h − t), damit nichts doppelt gezählt wird.

Grundlage: A₁ = 180·14 = 2520 mm², y₁ = 7 mm

zwei Schenkel: A₂ = 2·14·166 = 4648 mm², y₂ = 14 + 166/2 = 97 mm

Schwerpunkt

ȳ = (2520·7 + 4648·97)/7168 = 65,36 mm

Antwort

ȳ = 65,36 mm

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_unten = 43,93 MPa

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

Steg: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·285 + 5040·140)/6840 = 178,2 mm

Satz von Steiner

Flansch: 180·10³/12 + 1800·(285 − 178,2)² = 2,056 × 10⁷ mm⁴

Steg: 18·280³/12 + 5040·(140 − 178,2)² = 4,027 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,056 × 10⁷ + 4,027 × 10⁷ = 6,083 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

Die Unterkante liegt ȳ von der Achse entfernt.

y = 178,2 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·178,2/6,083 × 10⁷ = 43,93 MPa

Antwort

σ_unten = 43,93 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_abs = 93,42 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Im Raum ist die absolut größte Schubspannung (σ_max − σ_min)/2 über alle drei Hauptspannungen; im ebenen Spannungszustand ist die dritte null.

Hauptspannungen in der Ebene

C = 125 MPa, R = √(15² + 60²) = 61,85 MPa

σ₁ = 186,8 MPa, σ₂ = 63,15 MPa, σ_z = 0

Größter der drei Kreise

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(123,7, 186,8, 63,15)/2 = 93,42 MPa

Antwort

τ_abs = 93,42 MPa

Hier ist der Kreis außerhalb der Ebene maßgebend: Das absolute Maximum ist größer als das Maximum R in der Ebene.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ₁ = 25,75 MPa

Spannungen an der Oberfläche

σ = F/A = 20000/(π·40²/4) = 20000/1257 = 15,92 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·40³) = 15,92 MPa

Mohrscher Spannungskreis

C = σ/2 = 7,958 MPa

R = √(7,958² + 15,92²) = 17,79 MPa

σ₁ = C + R = 25,75 MPa

σ₂ = C − R = −9,836 MPa

Antwort

σ₁ = 25,75 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_P = 1,674 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 25000 N, a = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δ_P = Pa³/(3EI) = 25000·1500³/(3·1,68 × 10¹³) = 1,674 mm

Antwort

δ_P = 1,674 mm

12.Durchbiegung

Antwort: I_req = 57,53 × 10⁶ mm⁴

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·3000⁴/(384·11000·8,333) = 5,753 × 10⁷ mm⁴

I_req = 57,53 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_req = 57,53 × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 81,59 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/1050² = 81594 N = 81,59 kN

Antwort

P_cr = 81,59 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 32,6 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2,5·5000 = 12500 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 32,6 mm

Antwort

d = 32,6 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 214,8, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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