Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Kupfer unter der axialen Last.

P = 110 kNd = 10 mmL = 1 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Segment aus Stahl (Durchmesser 30 mm, Länge 300 mm, E = 200 GPa) und ein Segment aus Bronze (Durchmesser 50 mm, Länge 400 mm, E = 110 GPa) sind stumpf verbunden und zwischen zwei starren Wänden eingespannt. Am Übergang wirkt eine axiale Last von 20 kN in Richtung Segment 2. Bestimme den Betrag der Spannung σ₂ in Segment 2.

Segment 1: Stahl, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaSegment 2: Bronze, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine abgesetzte Vollwelle aus Aluminium ist in A eingespannt. Abschnitt AB hat 50 mm Durchmesser und 2 m Länge; Abschnitt BC hat 30 mm Durchmesser und 1,2 m Länge. Am freien Ende C wirkt ein Drehmoment von 200 N·m. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

T = 200 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 2 md₂ = 30 mm, L₂ = 1,2 m

τ_max = MPa

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Aluminium überträgt 15 kW bei 1500 rpm. Die Schubspannung darf 60 MPa nicht überschreiten, und die Verdrehung darf 0,5° pro m Länge nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der beide Grenzen einhält.

P = 15 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

45 kN @ 4 m30 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 1,5 m bis zum freien Ende C aus. Über die ganze Länge A–C wirkt eine Gleichstreckenlast w. Bestimme das maximale positive Biegemoment M_max zwischen den Auflagern.

L = 5,5 mw = 4 kN/m von 0 bis 5,5 mAuflager bei x = 0 und x = 4 m

M_max = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 30 kN·m. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_oben an der Oberkante.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mmM = 30 kN·m

σ_oben = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 30 MPa, σᵧ = 70 MPa und τₓᵧ = −30 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

σ_x = 30 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 80 MPa, σᵧ = 60 MPa und τₓᵧ = 50 MPa (Zug positiv). Bestimme die Schubspannung τ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 25° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist (positiv im selben Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand a = 1 m vom Auflager A. Bestimme die Durchbiegung δ_P unter der Last.

P = 14 kNa = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (Holz)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Holzbalken als Einfeldträger mit Rechteckquerschnitt, 150 mm breit, trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung in Feldmitte darf Spannweite/300 nicht überschreiten. Bestimme die kleinste Querschnittshöhe h_req.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (Holz)b = 150 mm

h_req = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 11,97 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 110·1000/78,54 = 1401 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Kupfer = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1401/117000 = 0,01197 = 11971 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,01197·1000 mm = 11,97 mm

Antwort

δ = 11,97 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ₂ = 5,439 MPa

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Steifigkeiten

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 110000·1963/400 = 539961 N/mm

Anteil von Segment 2

F₂ = 20000·539961/1,011 × 10⁶ = 10680 N

Spannung

σ₂ = 10680/1963 = 5,439 MPa (Druck)

Antwort

σ₂ = 5,439 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 37,73 MPa

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Spannung in jedem Abschnitt

T = 200 N·m = 200000 N·mm

τ_AB = 16·200000/(π·50³) = 8,149 MPa

τ_BC = 16·200000/(π·30³) = 37,73 MPa

Antwort

τ_max = 37,73 MPa

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 45,5 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 15000/157,1 = 95,49 N·m

Durchmesser aus der Festigkeit

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

d_τ = ∛(16·95493/(π·60)) = 20,09 mm

Durchmesser aus der Steifigkeit

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·95493/(π·26000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 45,5 mm

Maßgebender Durchmesser

Beide Grenzen müssen eingehalten werden, daher ist der größere Durchmesser maßgebend.

d = max(20,09, 45,5) = 45,5 mm

Antwort

d = 45,5 mm

Hier ist die Steifigkeit maßgebend.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: C (x = 4 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 55 kN, R₂ = 20 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 110, M_C = 160 kN·m, M_D = 120, M_E = 80, M_F = 40, M_G = 0

Antwort

Markierung C: M_C = 160 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_max = 5,908 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht am ganzen Balken, einschließlich der Last auf dem Kragarm.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 4·5,5 = 22 kN, angreifend bei x̄ = 2,75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·5,5·2,75

R_B = 60,5/4 = 15,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 22 − 15,13 = 6,875 kN

Querkraftnullstelle

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 6,875/4 = 1,719 m

Maximales positives Moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 6,875²/(2·4) = 5,908 kN·m

Antwort

M_max = 5,908 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 64,51 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

Steg: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·310 + 3000·150)/6600 = 237,3 mm

Satz von Steiner

Flansch: 180·20³/12 + 3600·(310 − 237,3)² = 1,916 × 10⁷ mm⁴

Steg: 10·300³/12 + 3000·(150 − 237,3)² = 4,535 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,916 × 10⁷ + 4,535 × 10⁷ = 6,451 × 10⁷ mm⁴ = 64,51 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 64,51 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_oben = 95,76 MPa

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

Steg: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·155 + 1960·70)/6160 = 128 mm

Satz von Steiner

Flansch: 140·30³/12 + 4200·(155 − 128)² = 3,387 × 10⁶ mm⁴

Steg: 14·140³/12 + 1960·(70 − 128)² = 9,784 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,387 × 10⁶ + 9,784 × 10⁶ = 1,317 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

Die Oberkante liegt h − ȳ von der Achse entfernt.

y = 170 − 128 = 42,05 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·42,05/1,317 × 10⁷ = 95,76 MPa

Antwort

σ_oben = 95,76 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 36,06 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Radius des Mohrschen Kreises

τ_max = R = √(((30 − 70)/2)² + −30²) = 36,06 MPa

Antwort

τ_max = 36,06 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_θ = 24,48 MPa

Transformationsgleichung

τ_θ = −10·0,766 + 50·0,6428 = 24,48 MPa

Antwort

τ_θ = 24,48 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_P = 79,55 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 14000 N, a = 1000 mm, b = 3000 mm, L = 4000 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 14000·1000²·3000²/(3·1,32 × 10¹¹·4000) = 79,55 mm

Antwort

δ_P = 79,55 mm

12.Durchbiegung

Antwort: h_req = 192,2 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/300 = 5000/300 = 16,67 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·5000⁴/(384·11000·16,67) = 8,878 × 10⁷ mm⁴

Erforderliche Höhe

bh³/12 = I_req → h = (12·8,878 × 10⁷/150)^1/3 = 192,2 mm

Antwort

h_req = 192,2 mm

In der Praxis wählt man die nächste Standardhöhe über diesem Wert.

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 5,875 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/2800² = 5875 N = 5,875 kN

Antwort

P_cr = 5,875 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 11,99 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/12,5 = 240

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

Antwort

σ_cr = 11,99 MPa

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