Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab besteht aus einem Segment aus Stahl (Durchmesser 30 mm, Länge 600 mm, E = 200 GPa), das stumpf mit einem Segment aus Aluminium (Durchmesser 50 mm, Länge 400 mm, E = 70 GPa) verbunden ist. Er ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen gezogen. Bestimme die axiale Last P, die ihn insgesamt um 0,5 mm dehnt.

Segment 1: Stahl, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaSegment 2: Aluminium, Ø50 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Segment aus Stahl (Durchmesser 40 mm, Länge 600 mm, E = 200 GPa) und ein Segment aus Kupfer (Durchmesser 50 mm, Länge 400 mm, E = 120 GPa) sind stumpf verbunden und zwischen zwei starren Wänden eingespannt. Am Übergang wirkt eine axiale Last von 60 kN in Richtung Segment 2. Bestimme den Betrag der Spannung σ₂ in Segment 2.

Segment 1: Stahl, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPaSegment 2: Kupfer, Ø50 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine abgesetzte Vollwelle aus Messing ist in A eingespannt. Abschnitt AB hat 60 mm Durchmesser und 3 m Länge; Abschnitt BC hat 50 mm Durchmesser und 1 m Länge. Am freien Ende C wirkt ein Drehmoment von 400 N·m. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

T = 400 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 3 md₂ = 50 mm, L₂ = 1 m

τ_max = MPa

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle überträgt 100 kW bei 1450 U/min. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

P = 100 kWN = 1450 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 3 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 4 mw = 5 kN/m von 0 bis 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 2,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 5 mP = 30 kN bei 1,5 mw = 3 kN/m von 0 bis 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein geschweißter I-Querschnitt hat einen Obergurt 110 × 22 mm, einen Steg mit 190 mm Höhe und 16 mm Dicke sowie einen Untergurt 260 × 16 mm (Breite × Dicke). Bestimme sein Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse x durch seinen Schwerpunkt.

Obergurt: 110 × 22 mmSteg: 16 × 190 mmUntergurt: 260 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 140 MPa, σᵧ = 10 MPa und τₓᵧ = −20 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_p von der x-Achse zur Richtung der größten Hauptspannung, zwischen −90° und 90°.

σ_x = 140 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = −60 MPa, σᵧ = 20 MPa und τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Der Werkstoff hat eine Streckgrenze von 420 MPa. Bestimme die Sicherheit n gegen Fließen nach dem Kriterium von von Mises (Gestaltänderungsenergiehypothese).

σ_x = −60 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Neigung θ_A des Balkens am Auflager A im Bogenmaß.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.DurchbiegungSchwer

Ein Holzbalken als Einfeldträger mit Rechteckquerschnitt, 100 mm breit, trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung in Feldmitte darf Spannweite/250 nicht überschreiten. Bestimme die kleinste Querschnittshöhe h_req.

w = 1,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (Holz)b = 100 mm

h_req = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (Stahl)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Sie muss 20 kN mit einer Sicherheit von 2,5 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 20 kNn = 2,5L = 1 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P = 69,89 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Nachgiebigkeiten

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·1963) = 2,91 × 10⁻⁶ mm/N

Last

P = 0,5/7,154 × 10⁻⁶ = 69887 N = 69,89 kN

Antwort

P = 69,89 kN

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ₂ = 17,86 MPa

Steifigkeiten

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 120000·1963/400 = 589049 N/mm

Anteil von Segment 2

F₂ = 60000·589049/1,008 × 10⁶ = 35065 N

Spannung

σ₂ = 35065/1963 = 17,86 MPa (Druck)

Antwort

σ₂ = 17,86 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 16,3 MPa

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Spannung in jedem Abschnitt

T = 400 N·m = 400000 N·mm

τ_AB = 16·400000/(π·60³) = 9,431 MPa

τ_BC = 16·400000/(π·50³) = 16,3 MPa

Antwort

τ_max = 16,3 MPa

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 68,97 MPa

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 100000/151,8 = 658,6 N·m

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Maximale Schubspannung

τ_max = T·(d_o/2)/J = 658572·20/190984 = 68,97 MPa

Antwort

τ_max = 68,97 MPa

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 7,5 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, angreifend bei x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 5·4·2

R_B = 40/4 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Schnitt bei x = 3 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 10·3 − 5·3·1,5 = 7,5 kN·m

Antwort

M_x = 7,5 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 31,88 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, angreifend bei x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 30·1,5 + 3·5·2,5

R_B = 82,5/5 = 16,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 16,5 = 28,5 kN

Schnitt bei x = 2,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 28,5·2,5 − 30·(2,5 − 1,5) − 3·2,5·1,25 = 31,88 kN·m

Antwort

M_x = 31,88 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 56,55 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

Steg: A_w = 20·240 = 4800 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·247,5 + 4800·120)/8400 = 174,6 mm

Satz von Steiner

Flansch: 240·15³/12 + 3600·(247,5 − 174,6)² = 1,918 × 10⁷ mm⁴

Steg: 20·240³/12 + 4800·(120 − 174,6)² = 3,737 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,918 × 10⁷ + 3,737 × 10⁷ = 5,655 × 10⁷ mm⁴ = 56,55 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 56,55 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 77,58 × 10⁶ mm⁴

In drei Rechtecke aufteilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Obergurt: A = 2420 mm², y = 217 mm

Steg: A = 3040 mm², y = 111 mm

Untergurt: A = 4160 mm², y = 8 mm

Schwerpunkt

ȳ = (2420·217 + 3040·111 + 4160·8)/9620 = 93,12 mm

Satz von Steiner

Obergurt: 110·22³/12 + 2420·123,9² = 3,723 × 10⁷ mm⁴

Steg: 16·190³/12 + 3040·17,88² = 1,012 × 10⁷ mm⁴

Untergurt: 260·16³/12 + 4160·85,12² = 3,023 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,723 × 10⁷ + 1,012 × 10⁷ + 3,023 × 10⁷

I_x = 7,758 × 10⁷ mm⁴ = 77,58 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 77,58 × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_p = −8,551 °

Winkel am Kreis

Punkt x liegt im Mohrschen Kreis unter dem Winkel 2θp zur σ-Achse; der Quadrant ergibt sich aus den Vorzeichen von σₓ − σᵧ und τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, 140 − 10) = −17,1°

Winkel am Element

θ_p = −8,551°

Antwort

θ_p = −8,551°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: n = 3,727

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Fließkriterien: Nach von Mises tritt Fließen ein, wenn σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) die Streckgrenze σ_Y erreicht; nach Tresca, wenn die absolut größte Schubspannung σ_Y/2 erreicht.

Hauptspannungen

C = −20 MPa, R = 64,03 MPa

σ₁ = 44,03 MPa, σ₂ = −84,03 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(44,03² − 44,03·(−84,03) + (−84,03)²) = 112,7 MPa

n = 420/112,7 = 3,727

Antwort

n = 3,727

n > 1 bedeutet, dass der Punkt nicht fließt; Tresca ist etwas konservativer als von Mises.

11.Durchbiegung

Antwort: θ_A = 0,002325 rad

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition). Die Neigung θ = dv/dx ist das erste Integral von M/(EI); in konsistenten Einheiten ergibt sie sich im Bogenmaß.

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Endneigung

θ_A = wL³/(24EI) = 5·5000³/(24·1,12 × 10¹³) = 0,002325 rad

Antwort

θ_A = 0,002325 rad

Das sind 0,1332°.

12.Durchbiegung

Antwort: h_req = 188,1 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·5000⁴/(384·11000·20) = 5,549 × 10⁷ mm⁴

Erforderliche Höhe

bh³/12 = I_req → h = (12·5,549 × 10⁷/100)^1/3 = 188,1 mm

Antwort

h_req = 188,1 mm

In der Praxis wählt man die nächste Standardhöhe über diesem Wert.

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 2,146 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/4200² = 2146 N = 2,146 kN

Antwort

P_cr = 2,146 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 29,15 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2,5·20000 = 50000 N

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·700²/(π³·70000))^(1/4) = 29,15 mm

Antwort

d = 29,15 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 96,04, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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