Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab besteht aus einem Segment aus Stahl (Durchmesser 20 mm, Länge 600 mm, E = 200 GPa), das stumpf mit einem Segment aus Kupfer (Durchmesser 60 mm, Länge 400 mm, E = 120 GPa) verbunden ist. Er ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen gezogen. Bestimme die axiale Last P, die ihn insgesamt um 0,3 mm dehnt.

Segment 1: Stahl, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaSegment 2: Kupfer, Ø60 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 90 kNAbschnitt 1: Ø30 mm, 1 m, Stahl (E = 200 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 1 m, Messing (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsion von WellenMittel

Eine Hohlwelle soll ein Drehmoment von 750 N·m übertragen. Ihr Innendurchmesser soll das 0,6-Fache ihres Außendurchmessers betragen, und die Schubspannung darf 75 MPa nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Außendurchmesser d_o.

T = 750 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle überträgt 75 kW bei 300 U/min. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

P = 75 kWN = 300 rpmd_o = 75 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

50 kN @ 4 m12 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 1,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 6 mP = 40 kN bei 2 mw = 12 kN/m von 0 bis 6 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 120 mm Breite und 18 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 340 mm und einen Steg mit 14 mm Dicke. Er überträgt ein Biegemoment von 120 kN·m um die Achse x. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_j am Übergang vom Steg zum Obergurt.

B = 120 mmH = 340 mmt_f = 18 mmt_w = 14 mmM = 120 kN·m

σ_j = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = 90 MPa und σᵧ = −10 MPa. Wie groß darf die Schubspannung τ_xy (Betrag) werden, bevor die größte Hauptspannung 100 MPa erreicht?

σ_x = 90 MPaσ_y = −10 MPaσ₁ = 100 MPa

τ_xy = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 20 MPa, σᵧ = 70 MPa und τₓᵧ = −10 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 25° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = 20 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Durchbiegung δ am freien Ende.

w = 4 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand b = 3,5 m vom Auflager B. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max des Balkens.

P = 12 kNb = 3,5 mL = 8 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (Stahl)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P = 27,96 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Nachgiebigkeiten

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·2827) = 1,179 × 10⁻⁶ mm/N

Last

P = 0,3/1,073 × 10⁻⁵ = 27964 N = 27,96 kN

Antwort

P = 27,96 kN

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 5,113 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 127,3 MPa

σ₂ = 447,6 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 127,3·1000/200000 = 0,6366 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 447,6·1000/100000 = 4,476 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,113 mm

Antwort

δ = 5,113 mm

3.Torsion von Wellen

Antwort: d_o = 38,82 mm

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Außendurchmesser aus der zulässigen Spannung

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·75·0,8704)) = 38,82 mm

d_i = 0,6·38,82 = 23,29 mm

Antwort

d_o = 38,82 mm

Eine Vollwelle bräuchte d = 37,07 mm; die Hohlwelle ist etwas größer, aber viel leichter.

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 48,81 MPa

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(75⁴ − 60⁴)/32 = 1,834 × 10⁶ mm⁴

Maximale Schubspannung

τ_max = T·(d_o/2)/J = 2,387 × 10⁶·37,5/1,834 × 10⁶ = 48,81 MPa

Antwort

τ_max = 48,81 MPa

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 4 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 37,67 kN, R₂ = 48,33 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 37,67, M_C = 69,33, M_D = 89, M_E = 96,67 kN·m, M_F = 48,33, M_G = 0

Antwort

Markierung E: M_E = 96,67 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 80,5 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, angreifend bei x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·2 + 12·6·3

R_B = 296/6 = 49,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 112 − 49,33 = 62,67 kN

Schnitt bei x = 1,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 62,67·1,5 − 12·1,5·0,75 = 80,5 kN·m

Antwort

M_x = 80,5 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 40,1 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 240 + 20/2 = 250 mm

Steg: A_w = 10·240 = 2400 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·250 + 2400·120)/8000 = 211 mm

Satz von Steiner

Flansch: 280·20³/12 + 5600·(250 − 211)² = 8,704 × 10⁶ mm⁴

Steg: 10·240³/12 + 2400·(120 − 211)² = 3,139 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,704 × 10⁶ + 3,139 × 10⁷ = 4,01 × 10⁷ mm⁴ = 40,1 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 40,1 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_j = 125,9 MPa

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − t_w) breit und h_w = H − 2t_f hoch und haben die Achse x gemeinsam.

h_w = 340 − 2·18 = 304 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·340³ − 106·304³)/12

I_x = 1,449 × 10⁸ mm⁴

Biegespannung

y = 170 − 18 = 152 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·152/1,449 × 10⁸ = 125,9 MPa

Antwort

σ_j = 125,9 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_xy = 33,17 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Erforderlicher Radius

C = (90 + (−10))/2 = 40 MPa

R = σ₁ − C = 100 − 40 = 60 MPa

Schubspannung

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 50²) = 33,17 MPa

Antwort

τ_xy = 33,17 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = 21,27 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = 45 + −25·0,6428 + −10·0,766 = 21,27 MPa

Antwort

σ_θ = 21,27 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ = 13,45 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Durchbiegung

δ = wL⁴/(8EI) = 4·2000⁴/(8·5,95 × 10¹¹) = 13,45 mm

Antwort

δ = 13,45 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 77,87 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 12000 N, b = 3500 mm, L = 8000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Lage des Maximums

Setzt man die Neigung im längeren Abschnitt null, erhält man die Lage.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 3500²)/3) = 4153 mm

Maximale Durchbiegung

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 77,87 mm

Antwort

δ_max = 77,87 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 12,21 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Knicklänge

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/6000² = 12209 N = 12,21 kN

Antwort

P_cr = 12,21 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 49,35 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/12,5 = 200

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Antwort

σ_cr = 49,35 MPa

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