Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab besteht aus einem Segment aus Stahl (Durchmesser 40 mm, Länge 500 mm, E = 200 GPa), das stumpf mit einem Segment aus Messing (Durchmesser 60 mm, Länge 500 mm, E = 100 GPa) verbunden ist. Er ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen gezogen. Bestimme die axiale Last P, die ihn insgesamt um 0,4 mm dehnt.

Segment 1: Stahl, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaSegment 2: Messing, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Segment aus Stahl (Durchmesser 40 mm, Länge 300 mm, E = 200 GPa) und ein Segment aus Aluminium (Durchmesser 50 mm, Länge 500 mm, E = 70 GPa) sind stumpf verbunden und zwischen zwei starren Wänden eingespannt. Am Übergang wirkt eine axiale Last von 40 kN in Richtung Segment 2. Bestimme den Betrag der Spannung σ₂ in Segment 2.

Segment 1: Stahl, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPaSegment 2: Aluminium, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Aluminium ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 250 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle überträgt 15 kW bei 750 U/min. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

P = 15 kWN = 750 rpmd_o = 60 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

10 kN @ 3 m60 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 2,5 m bis zum freien Ende C aus. Über die ganze Länge A–C wirkt eine Gleichstreckenlast w. Bestimme das maximale positive Biegemoment M_max zwischen den Auflagern.

L = 8,5 mw = 12 kN/m von 0 bis 8,5 mAuflager bei x = 0 und x = 6 m

M_max = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 120 mm Breite und 22 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 300 mm und einen Steg mit 10 mm Dicke. Er überträgt ein Biegemoment von 50 kN·m um die Achse x. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_j am Übergang vom Steg zum Obergurt.

B = 120 mmH = 300 mmt_f = 22 mmt_w = 10 mmM = 50 kN·m

σ_j = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = 50 MPa, σᵧ = −20 MPa und τₓᵧ = −60 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_s zwischen −90° und 90° von der x-Achse zur Normalen der Ebene, in der die Schubspannung ihren größten positiven Wert +R hat (Schub positiv im gleichen Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = 50 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_s = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = −50 MPa, σᵧ = −10 MPa und τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Der Werkstoff hat eine Streckgrenze von 275 MPa. Bestimme die Sicherheit n gegen Fließen nach dem Kriterium von von Mises (Gestaltänderungsenergiehypothese).

σ_x = −50 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (Stahl)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment I_req, das diese Grenze einhält.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (Stahl)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Sie muss 90 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 90 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P = 106,4 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Nachgiebigkeiten

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1,768 × 10⁻⁶ mm/N

Last

P = 0,4/3,758 × 10⁻⁶ = 106445 N = 106,4 kN

Antwort

P = 106,4 kN

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ₂ = 5,033 MPa

Steifigkeiten

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 70000·1963/500 = 274889 N/mm

Anteil von Segment 2

F₂ = 40000·274889/1,113 × 10⁶ = 9882 N

Spannung

σ₂ = 9882/1963 = 5,033 MPa (Druck)

Antwort

σ₂ = 5,033 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 2,694 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(26000·613592) = 0,04701 rad

φ = 0,04701·180/π = 2,694°

Antwort

φ = 2,694°

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 7,627 MPa

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴

Maximale Schubspannung

τ_max = T·(d_o/2)/J = 190986·30/751193 = 7,627 MPa

Antwort

τ_max = 7,627 MPa

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: B (x = 1 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 55 kN, R₂ = 15 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 55 kN·m, M_C = 50, M_D = 45, M_E = 30, M_F = 15, M_G = 0

Antwort

Markierung B: M_B = 55 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_max = 36,88 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht am ganzen Balken, einschließlich der Last auf dem Kragarm.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 12·8,5 = 102 kN, angreifend bei x̄ = 4,25 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·8,5·4,25

R_B = 433,5/6 = 72,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 102 − 72,25 = 29,75 kN

Querkraftnullstelle

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 29,75/12 = 2,479 m

Maximales positives Moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 29,75²/(2·12) = 36,88 kN·m

Antwort

M_max = 36,88 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 68,31 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 240 + 20/2 = 250 mm

Steg: A_w = 20·240 = 4800 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·250 + 4800·120)/10800 = 192,2 mm

Satz von Steiner

Flansch: 300·20³/12 + 6000·(250 − 192,2)² = 2,023 × 10⁷ mm⁴

Steg: 20·240³/12 + 4800·(120 − 192,2)² = 4,808 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,023 × 10⁷ + 4,808 × 10⁷ = 6,831 × 10⁷ mm⁴ = 68,31 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 68,31 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_j = 55,07 MPa

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − t_w) breit und h_w = H − 2t_f hoch und haben die Achse x gemeinsam.

h_w = 300 − 2·22 = 256 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·300³ − 110·256³)/12

I_x = 1,162 × 10⁸ mm⁴

Biegespannung

y = 150 − 22 = 128 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·128/1,162 × 10⁸ = 55,07 MPa

Antwort

σ_j = 55,07 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_s = −74,87 °

Winkel am Kreis

Im Mohrschen Kreis liegt der höchste Punkt (+R) 90° vom Hauptspannungspunkt σ₁ entfernt; am Element sind das 45°.

cos 2θ_s = −60/69,46 = −0,8638, sin 2θ_s = −35/69,46 = −0,5039

2θ_s = atan2(−35, −60) = −149,7°

Winkel am Element

θ_s = −74,87°

Probe: θ_s − θ_p = −74,87 − (−29,87) = −45°

Antwort

θ_s = −74,87°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: n = 2,807

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Fließkriterien: Nach von Mises tritt Fließen ein, wenn σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) die Streckgrenze σ_Y erreicht; nach Tresca, wenn die absolut größte Schubspannung σ_Y/2 erreicht.

Hauptspannungen

C = −30 MPa, R = 53,85 MPa

σ₁ = 23,85 MPa, σ₂ = −83,85 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(23,85² − 23,85·(−83,85) + (−83,85)²) = 97,98 MPa

n = 275/97,98 = 2,807

Antwort

n = 2,807

n > 1 bedeutet, dass der Punkt nicht fließt; Tresca ist etwas konservativer als von Mises.

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 2,992 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 2,992 mm

Antwort

δ_max = 2,992 mm

12.Durchbiegung

Antwort: I_req = 40,5 × 10⁶ mm⁴

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·6000⁴/(384·200000·16,67) = 4,05 × 10⁷ mm⁴

I_req = 40,5 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_req = 40,5 × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 222,3 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Knicklänge

KL = 1·2500 = 2500 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2500² = 222253 N = 222,3 kN

Antwort

P_cr = 222,3 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 43,68 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2·90000 = 180000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 43,68 mm

Antwort

d = 43,68 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 128,2, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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