Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Stahl, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 75 kNAbschnitt 1: Ø30 mm, 1,5 m, Aluminium (E = 70 GPa)Abschnitt 2: Ø20 mm, 1 m, Stahl (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsion von WellenMittel

In einem Torsionsversuch wird eine Vollprobe mit 20 mm Durchmesser durch ein Drehmoment von 40 N·m verdreht. Die beiden Enden einer Messlänge von 250 mm verdrehen sich um 1,4° gegeneinander (der Werkstoff ist noch elastisch). Bestimme den Schubmodul G des Werkstoffs.

T = 40 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 1,4°

G = GPa

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle soll 20 kW bei 1800 U/min übertragen, ohne dass die Schubspannung 80 MPa überschreitet. Bestimme den kleinsten geeigneten Durchmesser d.

P = 20 kWN = 1800 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

30 kN @ 2 m35 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 1,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 5 mP = 10 kN bei 1,5 mw = 4 kN/m von 0 bis 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 130 mm Breite und 16 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 440 mm und einen Steg mit 6 mm Dicke. Er überträgt ein Biegemoment von 150 kN·m um die Achse x. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_j am Übergang vom Steg zum Obergurt.

B = 130 mmH = 440 mmt_f = 16 mmt_w = 6 mmM = 150 kN·m

σ_j = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 20 MPa, σᵧ = 30 MPa und τₓᵧ = −20 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_p von der x-Achse zur Richtung der größten Hauptspannung, zwischen −90° und 90°.

σ_x = 20 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein dünnwandiger zylindrischer Behälter mit 800 mm Innendurchmesser und 12 mm Wanddicke enthält Gas mit einem Überdruck von 2,5 MPa. Er ist aus Blech gefertigt, das entlang einer schraubenförmigen Naht unter 20° zur Zylinderachse verschweißt ist. Bestimme die Normalspannung σ_n, die quer zur Schweißnaht wirkt.

D = 800 mmt = 12 mmp = 2,5 MPaα = 20°

σ_n = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand a = 1,5 m vom Auflager A. Bestimme die Durchbiegung δ_P unter der Last.

P = 2 kNa = 1,5 mL = 8 mE = 11 GPa (Holz)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment I_req, das diese Grenze einhält.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (Holz)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (Stahl)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Sie muss 100 kN mit einer Sicherheit von 2,5 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 100 kNn = 2,5L = 4 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 1547 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 35·1000/113,1 = 309,5 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Stahl = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 309,5/200000 = 0,001547 = 1547 µε

Antwort

ε = 1547 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 3,467 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 106,1 MPa

σ₂ = 238,7 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 106,1·1500/70000 = 2,274 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 238,7·1000/200000 = 1,194 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,467 mm

Antwort

δ = 3,467 mm

3.Torsion von Wellen

Antwort: G = 26,05 GPa

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment und Winkel

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 1,4·π/180 = 0,02443 rad

Schubmodul

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·250/(15708·0,02443) = 26054 MPa

G = 26,05 GPa

Antwort

G = 26,05 GPa

Zum Vergleich: Stahl ≈ 80 GPa, Messing ≈ 39 GPa, Aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 18,9 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m

Durchmesser aus der zulässigen Spannung

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·106103/(π·80)) = 18,9 mm

Antwort

d = 18,9 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: D (x = 3 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 37,5 kN, R₂ = 27,5 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 37,5, M_C = 75, M_D = 82,5 kN·m, M_E = 55, M_F = 27,5, M_G = 0

Antwort

Markierung D: M_D = 82,5 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 21 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, angreifend bei x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·1,5 + 4·5·2,5

R_B = 65/5 = 13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 13 = 17 kN

Schnitt bei x = 1,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 17·1,5 − 4·1,5·0,75 = 21 kN·m

Antwort

M_x = 21 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 3,415 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

Steg: A_w = 8·120 = 960 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·125 + 960·60)/2160 = 96,11 mm

Satz von Steiner

Flansch: 120·10³/12 + 1200·(125 − 96,11)² = 1,011 × 10⁶ mm⁴

Steg: 8·120³/12 + 960·(60 − 96,11)² = 2,404 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,011 × 10⁶ + 2,404 × 10⁶ = 3,415 × 10⁶ mm⁴ = 3,415 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 3,415 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_j = 138,5 MPa

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − t_w) breit und h_w = H − 2t_f hoch und haben die Achse x gemeinsam.

h_w = 440 − 2·16 = 408 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·440³ − 124·408³)/12

I_x = 2,21 × 10⁸ mm⁴

Biegespannung

y = 220 − 16 = 204 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁸·204/2,21 × 10⁸ = 138,5 MPa

Antwort

σ_j = 138,5 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_p = −52,02 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Punkt x liegt im Mohrschen Kreis unter dem Winkel 2θp zur σ-Achse; der Quadrant ergibt sich aus den Vorzeichen von σₓ − σᵧ und τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, 20 − 30) = −104°

Winkel am Element

θ_p = −52,02°

Antwort

θ_p = −52,02°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_n = 78,46 MPa

Spannungen in der Wand

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 2,5·400/12 = 83,33 MPa

σ_a = pr/(2t) = 41,67 MPa

Auf die Naht transformieren

Lege x entlang der Achse (σ_a) und y in Umfangsrichtung (σ_h). Die Normale der Naht bildet mit der Achse den Winkel 90° − α.

σ_n = 41,67·sin²20° + 83,33·cos²20° = 78,46 MPa

Antwort

σ_n = 78,46 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_P = 31,31 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 2000 N, a = 1500 mm, b = 6500 mm, L = 8000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 2000·1500²·6500²/(3·2,53 × 10¹¹·8000) = 31,31 mm

Antwort

δ_P = 31,31 mm

12.Durchbiegung

Antwort: I_req = 532,7 × 10⁶ mm⁴

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·5000⁴/(384·11000·13,89) = 5,327 × 10⁸ mm⁴

I_req = 532,7 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_req = 532,7 × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 4,905 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Knicklänge

KL = 1·4000 = 4000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/4000² = 4905 N = 4,905 kN

Antwort

P_cr = 4,905 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 87,19 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2,5·100000 = 250000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 87,19 mm

Antwort

d = 87,19 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 128,5, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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