Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Kupfer, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 105 kNd = 30 mmL = 2 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 25 mm, E = 200 GPa, zulässige Spannung 160 MPa) steckt in einem Rohr aus Aluminium (Außendurchmesser 120 mm, Innendurchmesser 70 mm, E = 70 GPa, zulässige Spannung 80 MPa). Sie werden zwischen starren Platten zusammengedrückt. Bestimme die größte Last P_max.

Stab: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaRohr: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Torsion von WellenMittel

Eine Hohlwelle soll ein Drehmoment von 100 N·m übertragen. Ihr Innendurchmesser soll das 0,6-Fache ihres Außendurchmessers betragen, und die Schubspannung darf 80 MPa nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Außendurchmesser d_o.

T = 100 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle überträgt 50 kW bei 1800 U/min. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

P = 50 kWN = 1800 rpmd_o = 80 mmd_i = 64 mm

τ_max = MPa

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme die Querkraft V_x im Schnitt x = 4,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 10 mw = 2 kN/m von 0 bis 10 mx = 4,5 m

V_x = kN

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P. Bestimme das maximale Biegemoment M_max im Balken.

L = 8 mP = 35 kN bei 5 mw = 3 kN/m von 0 bis 8 m

M_max = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 300 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 25 kN·m. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_oben an der Oberkante.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mmM = 25 kN·m

σ_oben = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −70 MPa, σᵧ = −20 MPa und τₓᵧ = 50 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_p von der x-Achse zur Richtung der größten Hauptspannung, zwischen −90° und 90°.

σ_x = −70 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −60 MPa, σᵧ = −20 MPa und τₓᵧ = 40 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 60° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = −60 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 0,5 m von A. Bestimme die Durchbiegung δ_B am freien Ende B.

P = 8 kNa = 0,5 mL = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

P = 4 kNw = 6 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (Stahl)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (Stahl)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 1270 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 105·1000/706,9 = 148,5 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Kupfer = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 148,5/117000 = 0,00127 = 1270 µε

Antwort

ε = 1270 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P_max = 496,4 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·7461 = 6,205 × 10⁸ N

Maßgebende Dehnung

ε = min(0,0008, 0,001143) = 0,0008 (Stahl)

Größte Last

P_max = 0,0008·6,205 × 10⁸ = 496372 N = 496,4 kN

Antwort

P_max = 496,4 kN

3.Torsion von Wellen

Antwort: d_o = 19,41 mm

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Außendurchmesser aus der zulässigen Spannung

T = 100 N·m = 100000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·80·0,8704)) = 19,41 mm

d_i = 0,6·19,41 = 11,65 mm

Antwort

d_o = 19,41 mm

Eine Vollwelle bräuchte d = 18,53 mm; die Hohlwelle ist etwas größer, aber viel leichter.

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 4,469 MPa

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(80⁴ − 64⁴)/32 = 2,374 × 10⁶ mm⁴

Maximale Schubspannung

τ_max = T·(d_o/2)/J = 265258·40/2,374 × 10⁶ = 4,469 MPa

Antwort

τ_max = 4,469 MPa

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: V_x = 1 kN

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, angreifend bei x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 2·10·5

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Schnitt bei x = 4,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

V = R_A − (alle Lasten nach unten links vom Schnitt)

V_x = 10 − 2·4,5 = 1 kN

Antwort

V_x = 1 kN

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_max = 88,13 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·5 + 3·8·4

R_B = 271/8 = 33,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 59 − 33,88 = 25,13 kN

Wo ist V = 0?

V(5⁻) = R_A − w·5 = 10,13 kN

V(5⁺) = 10,13 − 35 = −24,88 kN

Die Querkraft wechselt an der Last das Vorzeichen, das Maximum liegt also unter der Last.

Maximales Moment

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 25,13·5 − 3·5²/2 = 88,13 kN·m

Antwort

M_max = 88,13 kN·m

Es tritt bei x = 5 m von A auf.

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 55,93 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 300·15 = 4500 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

Steg: A_w = 10·280 = 2800 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·287,5 + 2800·140)/7300 = 230,9 mm

Satz von Steiner

Flansch: 300·15³/12 + 4500·(287,5 − 230,9)² = 1,449 × 10⁷ mm⁴

Steg: 10·280³/12 + 2800·(140 − 230,9)² = 4,144 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,449 × 10⁷ + 4,144 × 10⁷ = 5,593 × 10⁷ mm⁴ = 55,93 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 55,93 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_oben = 34,73 MPa

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

Steg: A_w = 14·220 = 3080 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·235 + 3080·110)/8480 = 189,6 mm

Satz von Steiner

Flansch: 180·30³/12 + 5400·(235 − 189,6)² = 1,154 × 10⁷ mm⁴

Steg: 14·220³/12 + 3080·(110 − 189,6)² = 3,194 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,154 × 10⁷ + 3,194 × 10⁷ = 4,347 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

Die Oberkante liegt h − ȳ von der Achse entfernt.

y = 250 − 189,6 = 60,4 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·60,4/4,347 × 10⁷ = 34,73 MPa

Antwort

σ_oben = 34,73 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_p = 58,28 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Punkt x liegt im Mohrschen Kreis unter dem Winkel 2θp zur σ-Achse; der Quadrant ergibt sich aus den Vorzeichen von σₓ − σᵧ und τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·50, −70 − −20) = 116,6°

Winkel am Element

θ_p = 58,28°

Antwort

θ_p = 58,28°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = 4,641 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = −40 + −20·−0,5 + 40·0,866 = 4,641 MPa

Antwort

σ_θ = 4,641 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_B = 1,211 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 8000 N, a = 500 mm, L = 5000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung am freien Ende

Durchbiegung an der Last plus Neigung an der Last mal Restlänge.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,08354 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0002506 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,211 mm

Antwort

δ_B = 1,211 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 10,56 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 4000 N, w = 6 N/mm, L = 4000 mm, EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·4000³/(48·2,4 × 10¹²) = 2,222 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 8,333 mm

Addieren

δ_max = 2,222 + 8,333 = 10,56 mm

Antwort

δ_max = 10,56 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 77,72 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/1000² = 77723 N = 77,72 kN

Antwort

P_cr = 77,72 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 111 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133,3

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133,3² = 111 MPa

Antwort

σ_cr = 111 MPa

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