Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Messing, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 55 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 70 kNAbschnitt 1: Ø35 mm, 1 m, Aluminium (E = 70 GPa)Abschnitt 2: Ø20 mm, 1,5 m, Aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsion von WellenMittel

Eine Hohlwelle soll ein Drehmoment von 100 N·m übertragen. Ihr Innendurchmesser soll das 0,8-Fache ihres Außendurchmessers betragen, und die Schubspannung darf 75 MPa nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Außendurchmesser d_o.

T = 100 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Aluminium mit 60 mm Durchmesser ist in A eingespannt. In B, 2 m von A entfernt, wirkt ein Drehmoment von 200 N·m, und am freien Ende C, weitere 1,2 m entfernt, wirkt ein Drehmoment von 500 N·m im gleichen Drehsinn. Bestimme den Betrag des Verdrehwinkels φ_C des Endes C in Grad.

d = 60 mmT_B = 200 N·mT_C = 500 N·mAB = 2 mBC = 1,2 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Der Kragarm ist in A eingespannt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P im Abstand 3 m von A. Bestimme das Biegemoment M_A an der Einspannung A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 3 mP = 30 kN bei 3 mw = 2 kN/m von 0 bis 3 m

M_A = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

30 kN @ 0 m10 kN @ 6 m35 kN @ 2 m12 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Eine Platte von 120 mm × 150 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 30 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 45 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 120 mmh = 150 mmd = 30 mmLochmittelpunkt: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 200 mm Breite und 22 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 240 mm und einen Steg mit 6 mm Dicke. Er überträgt ein Biegemoment von 100 kN·m um die Achse x. Bestimme den Betrag der maximalen Biegespannung σ_max im Querschnitt.

B = 200 mmH = 240 mmt_f = 22 mmt_w = 6 mmM = 100 kN·m

σ_max = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = 10 MPa und σᵧ = −30 MPa. Wie groß darf die Schubspannung τ_xy (Betrag) werden, bevor die größte Hauptspannung 40 MPa erreicht?

σ_x = 10 MPaσ_y = −30 MPaσ₁ = 40 MPa

τ_xy = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein dünnwandiger zylindrischer Behälter mit 1500 mm Innendurchmesser und 5 mm Wanddicke enthält Gas mit einem Überdruck von 0,8 MPa. Er ist aus Blech gefertigt, das entlang einer schraubenförmigen Naht unter 50° zur Zylinderachse verschweißt ist. Bestimme die Normalspannung σ_n, die quer zur Schweißnaht wirkt.

D = 1500 mmt = 5 mmp = 0,8 MPaα = 50°

σ_n = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 1 m von A. Bestimme die Durchbiegung δ_B am freien Ende B.

P = 16 kNa = 1 mL = 3 mE = 11 GPa (Holz)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein einseitig eingespannter Träger ist in A eingespannt und in B gelenkig gestützt. Er trägt in Feldmitte eine Einzellast P. EI ist konstant. Bestimme die Auflagerkraft R_B an der Stütze.

L = 3 mP = 70 kN bei 1,5 m

R_B = kN

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (Stahl)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 7003 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 55·1000/78,54 = 700,3 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 700,3/100000 = 0,007003 = 7003 µε

Antwort

ε = 7003 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 5,814 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 72,76 MPa

σ₂ = 222,8 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 72,76·1000/70000 = 1,039 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 222,8·1500/70000 = 4,775 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,814 mm

Antwort

δ = 5,814 mm

3.Torsion von Wellen

Antwort: d_o = 22,57 mm

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Außendurchmesser aus der zulässigen Spannung

T = 100 N·m = 100000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·75·0,5904)) = 22,57 mm

d_i = 0,8·22,57 = 18,06 mm

Antwort

d_o = 22,57 mm

Eine Vollwelle bräuchte d = 18,94 mm; die Hohlwelle ist etwas größer, aber viel leichter.

4.Torsion von Wellen

Antwort: φ_C = 3,464 °

Innere Drehmomente

Drehsinn von T_C als positiv angenommen.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 200 = 700 N·m

Verdrehung jedes Abschnitts

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 700000·2000/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,04232 rad

φ_BC = 500000·1200/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,01814 rad

Verdrehung des Endes C

φ_C = 0,04232 + 0,01814 = 0,06046 rad → |φ_C| = 3,464°

Antwort

φ_C = 3,464°

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_A = −99 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Den Teil mit dem freien Ende behalten

P: −30·3 = −90 kN·m

w: −2·3²/2 = −9 kN·m

M_A = −90 − 9 = −99 kN·m

Antwort

M_A = −99 kN·m

Negativ bedeutet Zug an der Oberseite.

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: B (x = 1 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 85,25 kN, R₂ = 37,75 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = −30 kN·m, M_C = 19,25, M_D = 21,5, M_E = 11,75, M_F = −10, M_G = 0

Antwort

Markierung B: M_B = −30 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 33,05 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat I_c = bh³/12 und ein Kreis I_c = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (18000·75 − 706,9·45)/(18000 − 706,9) = 76,23 mm

Volle Platte um ȳ

120·150³/12 + 18000·−1,226² = 33,78 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−31,23² = 0,729 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 33,05 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 33,05 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_max = 110,4 MPa

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − t_w) breit und h_w = H − 2t_f hoch und haben die Achse x gemeinsam.

h_w = 240 − 2·22 = 196 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·240³ − 194·196³)/12

I_x = 1,087 × 10⁸ mm⁴

Biegespannung

y = 120 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·120/1,087 × 10⁸ = 110,4 MPa

Antwort

σ_max = 110,4 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_xy = 45,83 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Erforderlicher Radius

C = (10 + (−30))/2 = −10 MPa

R = σ₁ − C = 40 − (−10) = 50 MPa

Schubspannung

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 20²) = 45,83 MPa

Antwort

τ_xy = 45,83 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_n = 84,79 MPa

Spannungen in der Wand

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 0,8·750/5 = 120 MPa

σ_a = pr/(2t) = 60 MPa

Auf die Naht transformieren

Lege x entlang der Achse (σ_a) und y in Umfangsrichtung (σ_h). Die Normale der Naht bildet mit der Achse den Winkel 90° − α.

σ_n = 60·sin²50° + 120·cos²50° = 84,79 MPa

Antwort

σ_n = 84,79 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_B = 23,09 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 16000 N, a = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Durchbiegung am freien Ende

Durchbiegung an der Last plus Neigung an der Last mal Restlänge.

δ_P = Pa³/(3EI) = 5,772 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,008658 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 23,09 mm

Antwort

δ_B = 23,09 mm

12.Durchbiegung

Antwort: R_B = 21,88 kN

Stütze entfernen

Ohne die Stütze ist der Balken ein Kragarm. Sein freies Ende würde sich unter der Last durchbiegen.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Verträglichkeit an der Stütze

Die Stützkraft R_B allein hebt das freie Ende um R_BL³/(3EI) an. Die Stütze hält B bei null Durchbiegung, also müssen sich beide aufheben. EI kürzt sich heraus.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·70/16 = 21,88 kN

Antwort

R_B = 21,88 kN

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 39,69 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2500² = 39688 N = 39,69 kN

Antwort

P_cr = 39,69 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 35,25 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/5 = 140

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Antwort

σ_cr = 35,25 MPa

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