Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Aluminium, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 110 kNAbschnitt 1: Ø35 mm, 2 m, Stahl (E = 200 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 2 m, Stahl (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Aluminium mit 1,5 m Länge überträgt ein Drehmoment von 1500 N·m. Der Verdrehwinkel zwischen ihren Enden darf 1,5° nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der diese Grenze einhält.

T = 1500 N·mL = 1,5 mG = 26 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Messing überträgt 30 kW bei 1500 rpm. Die Schubspannung darf 75 MPa nicht überschreiten, und die Verdrehung darf 0,25° pro m Länge nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der beide Grenzen einhält.

P = 30 kWN = 1500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme die Querkraft V_x im Schnitt x = 2 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 8 mw = 4 kN/m von 0 bis 8 mx = 2 m

V_x = kN

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 2,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 5 mP = 15 kN bei 2,5 mw = 12 kN/m von 0 bis 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein Gusseisenträger hat den dargestellten T-Querschnitt mit dem Flansch oben. Die zulässigen Spannungen betragen 40 MPa auf Zug und 90 MPa auf Druck. Bestimme das größte positive Biegemoment M_allow, das der Träger aufnehmen kann.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = −40 MPa, σᵧ = 70 MPa und τₓᵧ = −50 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_s zwischen −90° und 90° von der x-Achse zur Normalen der Ebene, in der die Schubspannung ihren größten positiven Wert +R hat (Schub positiv im gleichen Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = −40 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 20 MPa und τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Bestimme die Vergleichsspannung nach von Mises σ_vM.

σ_x = −30 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 50 MPa

σ_vM = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand a = 3 m vom Auflager A. Bestimme die Durchbiegung δ_P unter der Last.

P = 14 kNa = 3 mL = 8 mE = 200 GPa (Stahl)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

P = 3 kNw = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (Stahl)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Sie muss 115 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 115 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 909,5 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 45·1000/706,9 = 63,66 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 63,66/70000 = 0,0009095 = 909,5 µε

Antwort

ε = 909,5 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 547,1 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 114,3 MPa

σ₂ = 547,1 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 547,1 MPa

Antwort

σ_max = 547,1 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: d = 76,17 mm

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Erforderliches polares Flächenträgheitsmoment

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·1500/(26000·0,02618) = 3,306 × 10⁶ mm⁴

Durchmesser

d = (32J/π)^1/4 = 76,17 mm

Antwort

d = 76,17 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 58,15 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Durchmesser aus der Festigkeit

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·75)) = 23,49 mm

Durchmesser aus der Steifigkeit

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 58,15 mm

Maßgebender Durchmesser

Beide Grenzen müssen eingehalten werden, daher ist der größere Durchmesser maßgebend.

d = max(23,49, 58,15) = 58,15 mm

Antwort

d = 58,15 mm

Hier ist die Steifigkeit maßgebend.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: V_x = 8 kN

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·8·4

R_B = 128/8 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Schnitt bei x = 2 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

V = R_A − (alle Lasten nach unten links vom Schnitt)

V_x = 16 − 4·2 = 8 kN

Antwort

V_x = 8 kN

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 56,25 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, angreifend bei x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·2,5 + 12·5·2,5

R_B = 187,5/5 = 37,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 37,5 = 37,5 kN

Schnitt bei x = 2,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 37,5·2,5 − 12·2,5·1,25 = 56,25 kN·m

Antwort

M_x = 56,25 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 24,34 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

Steg: A_w = 18·160 = 2880 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·172,5 + 2880·80)/10380 = 146,8 mm

Satz von Steiner

Flansch: 300·25³/12 + 7500·(172,5 − 146,8)² = 5,331 × 10⁶ mm⁴

Steg: 18·160³/12 + 2880·(80 − 146,8)² = 1,901 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,331 × 10⁶ + 1,901 × 10⁷ = 2,434 × 10⁷ mm⁴ = 24,34 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 24,34 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: M_allow = 2,124 kN·m

Schwerpunkt

ȳ = (4800·115 + 1200·50)/6000 = 102 mm

Oberkante: c = 130 − 102 = 28 mm

Flächenträgheitsmoment

I = 160·30³/12 + 4800·13² + 12·100³/12 + 1200·52² = 5,416 × 10⁶ mm⁴

Von jedem Rand zugelassenes Moment

Positives Moment: oben Druck, unten Zug.

Oberkante: M = 90·5,416 × 10⁶/28 = 17,41 kN·m

Unterkante: M = 40·5,416 × 10⁶/102 = 2,124 kN·m

Maßgebender Wert

M_allow = min = 2,124 kN·m (Unterkante)

Antwort

M_allow = 2,124 kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_s = 66,14 °

Winkel am Kreis

Im Mohrschen Kreis liegt der höchste Punkt (+R) 90° vom Hauptspannungspunkt σ₁ entfernt; am Element sind das 45°.

cos 2θ_s = −50/74,33 = −0,6727, sin 2θ_s = −(−55)/74,33 = 0,7399

2θ_s = atan2(55, −50) = 132,3°

Winkel am Element

θ_s = 66,14°

Probe: θ_s − θ_p = 66,14 − (−68,86) = 135°

Antwort

θ_s = 66,14°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_vM = 96,95 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Fließkriterien: Nach von Mises tritt Fließen ein, wenn σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) die Streckgrenze σ_Y erreicht; nach Tresca, wenn die absolut größte Schubspannung σ_Y/2 erreicht.

Hauptspannungen

C = −5 MPa, R = 55,9 MPa

σ₁ = 50,9 MPa, σ₂ = −60,9 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(50,9² − 50,9·(−60,9) + (−60,9)²) = 96,95 MPa

Antwort

σ_vM = 96,95 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_P = 4,102 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 14000 N, a = 3000 mm, b = 5000 mm, L = 8000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 14000·3000²·5000²/(3·3,2 × 10¹³·8000) = 4,102 mm

Antwort

δ_P = 4,102 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 28,53 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 3000 N, w = 5 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(48EI) = 3000·5000³/(48·1,7 × 10¹²) = 4,596 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 23,94 mm

Addieren

δ_max = 4,596 + 23,94 = 28,53 mm

Antwort

δ_max = 28,53 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 46,06 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/1250² = 46058 N = 46,06 kN

Antwort

P_cr = 46,06 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 94,5 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 3·115000 = 345000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·345000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 94,5 mm

Antwort

d = 94,5 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 118,5, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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