Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Messing unter der axialen Last.

P = 115 kNd = 30 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 110 kNAbschnitt 1: Ø30 mm, 1,5 m, Messing (E = 100 GPa)Abschnitt 2: Ø20 mm, 1,5 m, Messing (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Messing ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 200 N·md = 30 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle soll 10 kW bei 1500 U/min übertragen, ohne dass die Schubspannung 75 MPa überschreitet. Bestimme den kleinsten geeigneten Durchmesser d.

P = 10 kWN = 1500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Der Einfeldträger trägt zwei Einzellasten. Bestimme das maximale Biegemoment M_max im Balken.

L = 6 mP₁ = 15 kN bei 3,5 mP₂ = 75 kN bei 4 m

M_max = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 4 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 6 mP = 20 kN bei 1 mw = 10 kN/m von 0 bis 6 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Eine Platte von 120 mm × 300 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 40 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 90 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 120 mmh = 300 mmd = 40 mmLochmittelpunkt: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 140 mm Breite und 12 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 420 mm und einen Steg mit 10 mm Dicke. Er überträgt ein Biegemoment von 200 kN·m um die Achse x. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_j am Übergang vom Steg zum Obergurt.

B = 140 mmH = 420 mmt_f = 12 mmt_w = 10 mmM = 200 kN·m

σ_j = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = −20 MPa und σᵧ = 30 MPa. Wie groß darf die Schubspannung τ_xy (Betrag) werden, bevor die größte Hauptspannung 40 MPa erreicht?

σ_x = −20 MPaσ_y = 30 MPaσ₁ = 40 MPa

τ_xy = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −70 MPa, σᵧ = 30 MPa und τₓᵧ = 10 MPa (Zug positiv). Bestimme die Schubspannung τ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 35° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist (positiv im selben Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = −70 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Durchbiegung δ am freien Ende.

w = 20 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (Stahl)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

P = 20 kNw = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (Holz)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden eingespannt. Sie muss 10 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 10 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 1,627 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 115·1000/706,9 = 162,7 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 162,7/100000 = 0,001627 = 1627 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,001627·1000 mm = 1,627 mm

Antwort

δ = 1,627 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 7,586 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 155,6 MPa

σ₂ = 350,1 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 155,6·1500/100000 = 2,334 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 350,1·1500/100000 = 5,252 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,586 mm

Antwort

δ = 7,586 mm

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 11,08 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(39000·79522) = 0,1935 rad

φ = 0,1935·180/π = 11,08°

Antwort

φ = 11,08°

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 16,29 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Durchmesser aus der zulässigen Spannung

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·63662/(π·75)) = 16,29 mm

Antwort

d = 16,29 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_max = 117,5 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·3,5 + 75·4

R_B = 352,5/6 = 58,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 58,75 = 31,25 kN

Moment unter jeder Last

Behalte jeweils den Teil links von der Last.

unter P₁: M = R_A·3,5 = 31,25·3,5 = 109,4 kN·m

unter P₂: M = R_B·2 = 58,75·2 = 117,5 kN·m

Größter Wert

M_max = 117,5 kN·m (unter P₂)

Antwort

M_max = 117,5 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 46,67 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, angreifend bei x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·1 + 10·6·3

R_B = 200/6 = 33,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 33,33 = 46,67 kN

Schnitt bei x = 4 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 46,67·4 − 20·(4 − 1) − 10·4·2 = 46,67 kN·m

Antwort

M_x = 46,67 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 265,2 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat I_c = bh³/12 und ein Kreis I_c = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (36000·150 − 1257·90)/(36000 − 1257) = 152,2 mm

Volle Platte um ȳ

120·300³/12 + 36000·−2,17² = 270,2 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−62,17² = 4,983 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 265,2 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 265,2 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_j = 206,7 MPa

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − t_w) breit und h_w = H − 2t_f hoch und haben die Achse x gemeinsam.

h_w = 420 − 2·12 = 396 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·420³ − 130·396³)/12

I_x = 1,916 × 10⁸ mm⁴

Biegespannung

y = 210 − 12 = 198 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁸·198/1,916 × 10⁸ = 206,7 MPa

Antwort

σ_j = 206,7 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_xy = 24,49 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Erforderlicher Radius

C = (−20 + 30)/2 = 5 MPa

R = σ₁ − C = 40 − 5 = 35 MPa

Schubspannung

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(35² − 25²) = 24,49 MPa

Antwort

τ_xy = 24,49 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_θ = 50,4 MPa

Transformationsgleichung

τ_θ = −−50·0,9397 + 10·0,342 = 50,4 MPa

Antwort

τ_θ = 50,4 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ = 65,1 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 5000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Durchbiegung

δ = wL⁴/(8EI) = 20·5000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 65,1 mm

Antwort

δ = 65,1 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 49,02 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 20000 N, w = 6 N/mm, L = 2000 mm, EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(48EI) = 20000·2000³/(48·9,35 × 10¹⁰) = 35,65 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2000⁴/(384·9,35 × 10¹⁰) = 13,37 mm

Addieren

δ_max = 35,65 + 13,37 = 49,02 mm

Antwort

δ_max = 49,02 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 456,9 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/750² = 456926 N = 456,9 kN

Antwort

P_cr = 456,9 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 39,19 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2·10000 = 20000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·20000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 39,19 mm

Antwort

d = 39,19 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 204,1, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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