Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Messing unter der axialen Last.

P = 10 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 110 kNAbschnitt 1: Ø40 mm, 2 m, Stahl (E = 200 GPa)Abschnitt 2: Ø20 mm, 0,5 m, Aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Stahl ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 400 N·md = 25 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle soll 30 kW bei 1000 U/min übertragen, ohne dass die Schubspannung 80 MPa überschreitet. Bestimme den kleinsten geeigneten Durchmesser d.

P = 30 kWN = 1000 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 7,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 8 mw = 10 kN/m von 0 bis 8 mx = 7,5 m

M_x = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

25 kN @ 6 m50 kN @ 2 m4 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein geschweißter I-Querschnitt hat einen Obergurt 110 × 14 mm, einen Steg mit 340 mm Höhe und 8 mm Dicke sowie einen Untergurt 230 × 20 mm (Breite × Dicke). Bestimme sein Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse x durch seinen Schwerpunkt.

Obergurt: 110 × 14 mmSteg: 8 × 340 mmUntergurt: 230 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 0 MPa, σᵧ = 100 MPa und τₓᵧ = 40 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

σ_x = 0 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = 60 MPa, σᵧ = −60 MPa und τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Der Werkstoff hat eine Streckgrenze von 350 MPa. Bestimme die Sicherheit n gegen Fließen nach dem Kriterium von von Mises (Gestaltänderungsenergiehypothese).

σ_x = 60 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Neigung θ_A des Balkens am Auflager A im Bogenmaß.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (Stahl)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.DurchbiegungSchwer

Ein Holzbalken als Einfeldträger mit Rechteckquerschnitt, 100 mm breit, trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung in Feldmitte darf Spannweite/300 nicht überschreiten. Bestimme die kleinste Querschnittshöhe h_req.

w = 3 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (Holz)b = 100 mm

h_req = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Sie muss 50 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 50 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 0,1592 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 10·1000/314,2 = 31,83 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 31,83/100000 = 0,0003183 = 318,3 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,0003183·500 mm = 0,1592 mm

Antwort

δ = 0,1592 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 3,376 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 87,54 MPa

σ₂ = 350,1 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 87,54·2000/200000 = 0,8754 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 350,1·500/70000 = 2,501 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,376 mm

Antwort

δ = 3,376 mm

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 11,21 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1500/(80000·38350) = 0,1956 rad

φ = 0,1956·180/π = 11,21°

Antwort

φ = 11,21°

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 26,32 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 30000/104,7 = 286,5 N·m

Durchmesser aus der zulässigen Spannung

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·286479/(π·80)) = 26,32 mm

Antwort

d = 26,32 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 18,75 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·8·4

R_B = 320/8 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Schnitt bei x = 7,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 40·7,5 − 10·7,5·3,75 = 18,75 kN·m

Antwort

M_x = 18,75 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 4 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 20,5 kN, R₂ = 70,5 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 18,5, M_C = 33, M_D = −6,5, M_E = −50 kN·m, M_F = −25, M_G = 0

Antwort

Markierung E: M_E = −50 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 36,92 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

Steg: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·245 + 3360·120)/5560 = 169,5 mm

Satz von Steiner

Flansch: 220·10³/12 + 2200·(245 − 169,5)² = 1,257 × 10⁷ mm⁴

Steg: 14·240³/12 + 3360·(120 − 169,5)² = 2,435 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,257 × 10⁷ + 2,435 × 10⁷ = 3,692 × 10⁷ mm⁴ = 36,92 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 36,92 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 188,8 × 10⁶ mm⁴

In drei Rechtecke aufteilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Obergurt: A = 1540 mm², y = 367 mm

Steg: A = 2720 mm², y = 190 mm

Untergurt: A = 4600 mm², y = 10 mm

Schwerpunkt

ȳ = (1540·367 + 2720·190 + 4600·10)/8860 = 127,3 mm

Satz von Steiner

Obergurt: 110·14³/12 + 1540·239,7² = 8,85 × 10⁷ mm⁴

Steg: 8·340³/12 + 2720·62,69² = 3,689 × 10⁷ mm⁴

Untergurt: 230·20³/12 + 4600·117,3² = 6,346 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,85 × 10⁷ + 3,689 × 10⁷ + 6,346 × 10⁷

I_x = 1,888 × 10⁸ mm⁴ = 188,8 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 188,8 × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 64,03 MPa

Radius des Mohrschen Kreises

τ_max = R = √(((0 − 100)/2)² + 40²) = 64,03 MPa

Antwort

τ_max = 64,03 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: n = 3,012

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Fließkriterien: Nach von Mises tritt Fließen ein, wenn σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) die Streckgrenze σ_Y erreicht; nach Tresca, wenn die absolut größte Schubspannung σ_Y/2 erreicht.

Hauptspannungen

C = 0 MPa, R = 67,08 MPa

σ₁ = 67,08 MPa, σ₂ = −67,08 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(67,08² − 67,08·(−67,08) + (−67,08)²) = 116,2 MPa

n = 350/116,2 = 3,012

Antwort

n = 3,012

n > 1 bedeutet, dass der Punkt nicht fließt; Tresca ist etwas konservativer als von Mises.

11.Durchbiegung

Antwort: θ_A = 0,002284 rad

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition). Die Neigung θ = dv/dx ist das erste Integral von M/(EI); in konsistenten Einheiten ergibt sie sich im Bogenmaß.

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Endneigung

θ_A = wL³/(24EI) = 5·5000³/(24·1,14 × 10¹³) = 0,002284 rad

Antwort

θ_A = 0,002284 rad

Das sind 0,1309°.

12.Durchbiegung

Antwort: h_req = 201,5 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/300 = 4000/300 = 13,33 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·4000⁴/(384·11000·13,33) = 6,818 × 10⁷ mm⁴

Erforderliche Höhe

bh³/12 = I_req → h = (12·6,818 × 10⁷/100)^1/3 = 201,5 mm

Antwort

h_req = 201,5 mm

In der Praxis wählt man die nächste Standardhöhe über diesem Wert.

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 4,935 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Knicklänge

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/4000² = 4935 N = 4,935 kN

Antwort

P_cr = 4,935 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 65,32 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2·50000 = 100000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 65,32 mm

Antwort

d = 65,32 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 257,2, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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