Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Messing, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 75 kNAbschnitt 1: Ø35 mm, 1 m, Messing (E = 100 GPa)Abschnitt 2: Ø12 mm, 2 m, Stahl (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Messing mit 1 m Länge überträgt ein Drehmoment von 1500 N·m. Der Verdrehwinkel zwischen ihren Enden darf 2° nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der diese Grenze einhält.

T = 1500 N·mL = 1 mG = 39 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle soll 30 kW bei 300 rpm übertragen. Ihr Innendurchmesser soll das 0,75-Fache ihres Außendurchmessers betragen, und die Schubspannung darf 60 MPa nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Außendurchmesser d_o.

P = 30 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

50 kN @ 2 m6 kN/m, 2–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 2 m bis zum freien Ende C aus. Über die ganze Länge A–C wirkt eine Gleichstreckenlast w. Bestimme das maximale positive Biegemoment M_max zwischen den Auflagern.

L = 10 mw = 3 kN/m von 0 bis 10 mAuflager bei x = 0 und x = 8 m

M_max = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein rechteckiger Hohlquerschnitt (Kastenquerschnitt) hat die Außenbreite B = 200 mm, die Außenhöhe H = 200 mm und eine gleichmäßige Wanddicke t = 6 mm. Bestimme seinen Trägheitsradius r um die horizontale Schwerachse.

B = 200 mmH = 200 mmt = 6 mm

r = mm

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein Gusseisenträger hat den dargestellten T-Querschnitt mit dem Flansch oben. Die zulässigen Spannungen betragen 35 MPa auf Zug und 120 MPa auf Druck. Bestimme das größte negative Biegemoment M_allow, das der Träger aufnehmen kann (gib seinen Betrag an).

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −70 MPa, σᵧ = −50 MPa und τₓᵧ = 40 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

σ_x = −70 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 10 MPa und τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Bestimme die Vergleichsspannung nach von Mises σ_vM.

σ_x = 30 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 10 MPa

σ_vM = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand a = 2,5 m vom Auflager A. Bestimme die Durchbiegung δ_P unter der Last.

P = 28 kNa = 2,5 mL = 6 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein einseitig eingespannter Träger ist in A eingespannt und in B gelenkig gestützt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. EI ist konstant. Bestimme die Auflagerkraft R_B an der Stütze.

L = 3 mw = 12 kN/m

R_B = kN

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (Stahl)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 5968 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 120·1000/201,1 = 596,8 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 596,8/100000 = 0,005968 = 5968 µε

Antwort

ε = 5968 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 663,1 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 77,95 MPa

σ₂ = 663,1 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 663,1 MPa

Antwort

σ_max = 663,1 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: d = 57,88 mm

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Erforderliches polares Flächenträgheitsmoment

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·1000/(39000·0,03491) = 1,102 × 10⁶ mm⁴

Durchmesser

d = (32J/π)^1/4 = 57,88 mm

Antwort

d = 57,88 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

4.Torsion von Wellen

Antwort: d_o = 49,13 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Außendurchmesser aus der zulässigen Spannung

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·60·0,6836)) = 49,13 mm

d_i = 0,75·49,13 = 36,85 mm

Antwort

d_o = 49,13 mm

Eine Vollwelle bräuchte d = 43,28 mm; die Hohlwelle ist etwas größer, aber viel leichter.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: C (x = 2 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 41,33 kN, R₂ = 32,67 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 41,33, M_C = 82,67 kN·m, M_D = 71, M_E = 53,33, M_F = 29,67, M_G = 0

Antwort

Markierung C: M_C = 82,67 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_max = 21,09 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht am ganzen Balken, einschließlich der Last auf dem Kragarm.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, angreifend bei x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·10·5

R_B = 150/8 = 18,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 18,75 = 11,25 kN

Querkraftnullstelle

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 11,25/3 = 3,75 m

Maximales positives Moment

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 11,25²/(2·3) = 21,09 kN·m

Antwort

M_max = 21,09 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: r = 79,24 mm

Flächenträgheitsmoment: Für ein Rechteck gilt um seine eigene Schwerachse I = bh³/12 und um seine Grundlinie bh³/3 (Satz von Steiner I = I_c + A·d²). Ein Loch wird berücksichtigt, indem man sein I abzieht, solange beide Teile dieselbe Achse haben. Das elastische Widerstandsmoment ist S = I/c, wobei c der Abstand zur Randfaser ist. Der Trägheitsradius r = √(I/A) ist der Abstand, in dem die ganze Fläche dasselbe I ergäbe; er wird beim Knicken von Stützen verwendet.

Nettofläche und Netto-Flächenträgheitsmoment

b = 188 mm, h = 188 mm

A = BH − bh = 200·200 − 188·188 = 4656 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 2,923 × 10⁷ mm⁴

Trägheitsradius

r = √(I/A) = √(2,923 × 10⁷/4656) = 79,24 mm

Antwort

r = 79,24 mm

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: M_allow = 9,07 kN·m

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

Schwerpunkt

ȳ = (1000·225 + 3520·110)/4520 = 135,4 mm

Oberkante: c = 230 − 135,4 = 94,56 mm

Flächenträgheitsmoment

I = 100·10³/12 + 1000·89,56² + 16·220³/12 + 3520·25,44² = 2,45 × 10⁷ mm⁴

Von jedem Rand zugelassenes Moment

Negatives Moment: oben Zug, unten Druck.

Oberkante: M = 35·2,45 × 10⁷/94,56 = 9,07 kN·m

Unterkante: M = 120·2,45 × 10⁷/135,4 = 21,71 kN·m

Maßgebender Wert

M_allow = min = 9,07 kN·m (Oberkante)

Antwort

M_allow = 9,07 kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 41,23 MPa

Radius des Mohrschen Kreises

τ_max = R = √(((−70 − −50)/2)² + 40²) = 41,23 MPa

Antwort

τ_max = 41,23 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_vM = 31,62 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Fließkriterien: Nach von Mises tritt Fließen ein, wenn σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) die Streckgrenze σ_Y erreicht; nach Tresca, wenn die absolut größte Schubspannung σ_Y/2 erreicht.

Hauptspannungen

C = 20 MPa, R = 14,14 MPa

σ₁ = 34,14 MPa, σ₂ = 5,858 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(34,14² − 34,14·5,858 + 5,858²) = 31,62 MPa

Antwort

σ_vM = 31,62 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_P = 47,26 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 28000 N, a = 2500 mm, b = 3500 mm, L = 6000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 28000·2500²·3500²/(3·2,52 × 10¹²·6000) = 47,26 mm

Antwort

δ_P = 47,26 mm

12.Durchbiegung

Antwort: R_B = 13,5 kN

Stütze entfernen

Ohne die Stütze ist der Balken ein Kragarm. Sein freies Ende würde sich unter der Last durchbiegen.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Verträglichkeit an der Stütze

Die Stützkraft R_B allein hebt das freie Ende um R_BL³/(3EI) an. Die Stütze hält B bei null Durchbiegung, also müssen sich beide aufheben. EI kürzt sich heraus.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·3/8 = 13,5 kN

Antwort

R_B = 13,5 kN

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 104,9 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/1400² = 104907 N = 104,9 kN

Antwort

P_cr = 104,9 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 12,34 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/20 = 400

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Antwort

σ_cr = 12,34 MPa

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