Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung
σ = F/A
Dehnung
ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz
σ = E·ε
Verlängerung
ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung
εT = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung
τ = T·r/J
Vollwelle
J = πd⁴/32
Hohlwelle
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel
φ = TL/(GJ)
Leistung
P = T·ω = 2πnT/60

Methode

  1. Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
  2. Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
  3. Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
  4. Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
  3. Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
  4. Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechteck
I = bh³/12
Satz von Steiner
I = Ic + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt
C = (σx + σy)/2
Radius
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hauptspannungen
σ1,2 = C ± R
Hauptrichtung
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Geneigter Schnitt
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Methode

  1. Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
  2. Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
  4. Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte
δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast
δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast
δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz
δ = δ1 + δ2

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert
K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung
σcr = Pcr/A
Schlankheit
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel
Ø 10 mmKupfer1,5 mP = 10 kN

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Kupfer unter der axialen Last.

P = 10 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 117 GPa
δ = mm
2.Normalspannung und DehnungSchwer
P = ?Ø40100 GPaØ80/60300 mm

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 40 mm, E = 200 GPa, zulässige Spannung 120 MPa) steckt in einem Rohr aus Messing (Außendurchmesser 80 mm, Innendurchmesser 60 mm, E = 100 GPa, zulässige Spannung 100 MPa). Sie werden zwischen starren Platten zusammengedrückt. Bestimme die größte Last Pmax.

Stab: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPaRohr: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
3.Torsion von WellenMittel
do​ = 40, di​ = 30 mmT = 750 N·mL = 2 m

Eine Hohlwelle aus Messing (Außendurchmesser 40 mm, Innendurchmesser 30 mm, Länge 2 m) ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen durch ein Drehmoment von 750 N·m verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ in Grad.

T = 750 N·mdo = 40 mmdi = 30 mmL = 2 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsion von WellenSchwer
d = 25 mmT0​ = 1000 N·mACBa = 1,5 mb = 2,5 m

Eine Vollwelle aus Aluminium mit 25 mm Durchmesser ist an beiden Enden A und B in starren Wänden eingespannt. In C, 1,5 m von A und 2,5 m von B entfernt, wird ein Drehmoment von 1000 N·m aufgebracht. Bestimme das Einspannmoment TA an der Wand A.

d = 25 mmT0 = 1000 N·ma = 1,5 mb = 2,5 m
TA = N·m
5.Querkraft und BiegemomentMittel
M0​ = 20 kN·mAB2 m8 m

Der Einfeldträger trägt bei x = 2 m von A ein Moment M0 = 20 kN·m im Uhrzeigersinn und sonst keine Last. Bestimme das Biegemoment Mx unmittelbar rechts vom eingeprägten Moment. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 10 mM0 = 20 kN·m im Uhrzeigersinn, bei 2 m
Mx = kN·m
6.Querkraft und BiegemomentSchwer
w = 10 kN/mP = 15 kNABSchnitt1 m3 m2 m

Bestimme das Biegemoment Mx im Schnitt x = 4 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 6 mP = 15 kN bei 1 mw = 10 kN/m von 0 bis 6 mx = 4 m
Mx = kN·m
7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel
xD = 140d = 120Maße in mm

Ein Kreisrohr hat den Außendurchmesser D = 140 mm und den Innendurchmesser d = 120 mm. Bestimme seinen Trägheitsradius r um die horizontale Schwerachse.

D = 140 mmd = 120 mm
r = mm
8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer
2401018010xM = 5 kN·mMaße in mm

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 5 kN·m. Bestimme die Biegespannung σunten an der Unterkante.

bf = 240 mmtf = 10 mmtw = 10 mmhw = 180 mmM = 5 kN·m
σunten = MPa
9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel
σx​ = −60σy​ = 20τxy​ = −30MPa

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −60 MPa, σᵧ = 20 MPa und τₓᵧ = −30 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τmax.

σx = −60 MPaσy = 20 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer
σx​ = 110σy​ = −60τxy​ = 30MPa

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 110 MPa, σᵧ = −60 MPa und τₓᵧ = 30 MPa (Zug positiv). Bestimme die Schubspannung τθ in einem Schnitt, dessen Normale um 45° im Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist (positiv im selben Sinn wie τₓᵧ).

σx = 110 MPaσy = −60 MPaτxy = 30 MPaθ = -45°
τθ = MPa
11.DurchbiegungMittel
w = 12 kN/mδL = 4 m

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δmax in Feldmitte.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (Holz)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.DurchbiegungSchwer
w = 10 kN/mδL = 6 m

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment Ireq, das diese Grenze einhält.

w = 10 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (Stahl)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Knicken von StützenMittel
PL = 1,5 md = 40 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (Stahl)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Knicken von StützenSchwer
P = 150 kNL = 6 md = ?Querschnitt

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Sie muss 150 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 150 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (Stahl)
d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 1,632 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 10·1000/78,54 = 127,3 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Kupfer = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/117000 = 0,001088 = 1088 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,001088·1500 mm = 1,632 mm

Antwort

δ = 1,632 mm
2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: Pmax = 282,7 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, Pi = P·EiAi/ΣEA, und σi = Ei·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·2199 = 4,712 × 10⁸ N

Maßgebende Dehnung

ε = min(0,0006, 0,001) = 0,0006 (Stahl)

Größte Last

Pmax = 0,0006·4,712 × 10⁸ = 282743 N = 282,7 kN

Antwort

Pmax = 282,7 kN
3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 12,83 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τmax = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Verdrehwinkel

T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 750000·2000/(39000·171806) = 0,2239 rad
φ = 0,2239·180/π = 12,83°

Antwort

φ = 12,83°
4.Torsion von Wellen

Antwort: TA = 625 N·m

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τmax = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen. Sind beide Enden eingespannt, liefert die Statik allein nur TA + TB = T₀; die zweite Gleichung ist die Verträglichkeit (gleiche Verdrehung beider Teile am belasteten Querschnitt).

Gleichgewicht und Verträglichkeit

TA + TB = 1000
TA·a = TB·b
TA = 1000·2,5/4 = 625 N·m
TB = 1000·1,5/4 = 375 N·m

Antwort

TA = 625 N·m
5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: Mx = 16 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Ein eingeprägtes Moment lässt die Momentenlinie um die Größe dieses Moments springen.

Auflagerkräfte

Momente um A, gegen den Uhrzeigersinn positiv: RB·L − M0 = 0. Vertikales Gleichgewicht: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 20/10 = 2 kN (nach oben)
RA = −RB = −2 kN (nach unten)

Schnitt unmittelbar rechts vom eingeprägten Moment

Der linke Teil enthält jetzt RA und das eingeprägte Moment.

Mx = RA·a + M0 = −2·2 + 20 = 16 kN·m

Antwort

Mx = 16 kN·m
6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: Mx = 45 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, angreifend bei x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 15·1 + 10·6·3
RB = 195/6 = 32,5 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 32,5 = 42,5 kN
w = 10 kN/mP = 15 kNABRA​ = 42,5RB​ = 32,5Schnitt1 m3 m2 m

Schnitt bei x = 4 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = RA·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)
Mx = 42,5·4 − 15·(4 − 1) − 10·4·2 = 45 kN·m

Antwort

Mx = 45 kN·m
7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: r = 46,1 mm

Flächenträgheitsmoment: Für ein Rechteck gilt um seine eigene Schwerachse I = bh³/12 und um seine Grundlinie bh³/3 (Satz von Steiner I = Ic + A·d²). Ein Loch wird berücksichtigt, indem man sein I abzieht, solange beide Teile dieselbe Achse haben. Das elastische Widerstandsmoment ist S = I/c, wobei c der Abstand zur Randfaser ist. Der Trägheitsradius r = √(I/A) ist der Abstand, in dem die ganze Fläche dasselbe I ergäbe; er wird beim Knicken von Stützen verwendet.

Nettofläche und Netto-Flächenträgheitsmoment

A = π(D² − d²)/4 = 4084 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 8,679 × 10⁶ mm⁴

Trägheitsradius

r = √(I/A) = √(8,679 × 10⁶/4084) = 46,1 mm

Antwort

r = 46,1 mm
8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σunten = 50,94 MPa

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: Af = 240·10 = 2400 mm², yf = 180 + 10/2 = 185 mm
Steg: Aw = 10·180 = 1800 mm², yw = 180/2 = 90 mm

Schwerpunkt

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·185 + 1800·90)/4200 = 144,3 mm

Satz von Steiner

Flansch: 240·10³/12 + 2400·(185 − 144,3)² = 3,998 × 10⁶ mm⁴
Steg: 10·180³/12 + 1800·(90 − 144,3)² = 1,016 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3,998 × 10⁶ + 1,016 × 10⁷ = 1,416 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

Die Unterkante liegt ȳ von der Achse entfernt.

y = 144,3 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·144,3/1,416 × 10⁷ = 50,94 MPa

Antwort

σunten = 50,94 MPa
9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τmax = 50 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

στxyCτmax​

Radius des Mohrschen Kreises

τmax = R = √(((−60 − 20)/2)² + −30²) = 50 MPa

Antwort

τmax = 50 MPa
10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τθ = 85 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Transformationsgleichung

τθ = −85·−1 + 30·0 = 85 MPa

Antwort

τθ = 85 MPa
11.Durchbiegung

Antwort: δmax = 30,3 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 30,3 mm

Antwort

δmax = 30,3 mm
12.Durchbiegung

Antwort: Ireq = 50,63 × 10⁶ mm⁴

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Grenzwert der Durchbiegung

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·6000⁴/(384·200000·16,67) = 5,063 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 50,63 × 10⁶ mm⁴

Antwort

Ireq = 50,63 × 10⁶ mm⁴
13.Knicken von Stützen

Antwort: Pcr = 110,2 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Knicklänge

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritische Last

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1500² = 110245 N = 110,2 kN

Antwort

Pcr = 110,2 kN
14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 95,14 mm

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Erforderliche kritische Last

Pcr = n·P = 3·150000 = 450000 N
KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 95,14 mm

Antwort

d = 95,14 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 176,6, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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