Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Messing unter der axialen Last.

P = 20 kNd = 10 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 100 kNAbschnitt 1: Ø30 mm, 2 m, Aluminium (E = 70 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 0,5 m, Messing (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Hohlwelle aus Messing (Außendurchmesser 75 mm, Innendurchmesser 56 mm, Länge 1,2 m) ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen durch ein Drehmoment von 500 N·m verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ in Grad.

T = 500 N·md_o = 75 mmd_i = 56 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Stahl mit 60 mm Durchmesser ist in A eingespannt. In B, 1,2 m von A entfernt, wirkt ein Drehmoment von 500 N·m, und am freien Ende C, weitere 0,5 m entfernt, wirkt ein Drehmoment von 2000 N·m im entgegengesetzten Drehsinn. Bestimme den Betrag des Verdrehwinkels φ_C des Endes C in Grad.

d = 60 mmT_B = 500 N·mT_C = 2000 N·mAB = 1,2 mBC = 0,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

25 kN @ 8 m55 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 3 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 4 mP = 50 kN bei 3 mw = 5 kN/m von 0 bis 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 100 mm Breite und 22 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 220 mm und einen Steg mit 14 mm Dicke. Bestimme sein Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Schwerachse x.

B = 100 mmH = 220 mmt_f = 22 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Eine Platte von 150 mm × 200 mm hat einen rechteckigen Ausschnitt von 40 mm Breite und 40 mm Höhe, der auf der vertikalen Mittellinie sitzt und dessen Mittelpunkt 70 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 150 mmh = 200 mmAusschnitt: 40 × 40 mmLochmittelpunkt: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −60 MPa, σᵧ = 50 MPa und τₓᵧ = −60 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

σ_x = −60 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein dünnwandiger zylindrischer Behälter mit 1000 mm Innendurchmesser und 5 mm Wanddicke enthält Gas mit einem Überdruck von 2 MPa. Er ist aus Blech gefertigt, das entlang einer schraubenförmigen Naht unter 50° zur Zylinderachse verschweißt ist. Bestimme die Normalspannung σ_n, die quer zur Schweißnaht wirkt.

D = 1000 mmt = 5 mmp = 2 MPaα = 50°

σ_n = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Durchbiegung δ am freien Ende.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (Stahl)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment I_req, das diese Grenze einhält.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (Holz)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 2,546 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 20·1000/78,54 = 254,6 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 254,6/100000 = 0,002546 = 2546 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,002546·1000 mm = 2,546 mm

Antwort

δ = 2,546 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 497,4 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 141,5 MPa

σ₂ = 497,4 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 497,4 MPa

Antwort

σ_max = 497,4 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 0,4117 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Verdrehwinkel

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·1200/(39000·2,141 × 10⁶) = 0,007186 rad

φ = 0,007186·180/π = 0,4117°

Antwort

φ = 0,4117°

4.Torsion von Wellen

Antwort: φ_C = 1,576 °

Innere Drehmomente

Drehsinn von T_C als positiv angenommen.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 2000 − 500 = 1500 N·m

Verdrehung jedes Abschnitts

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1,5 × 10⁶·1200/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,01768 rad

φ_BC = 2 × 10⁶·500/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,009824 rad

Verdrehung des Endes C

φ_C = 0,01768 + 0,009824 = 0,02751 rad → |φ_C| = 1,576°

Antwort

φ_C = 1,576°

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: D (x = 6 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 35,83 kN, R₂ = 44,17 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 71,67, M_C = 143,3, M_D = 215 kN·m, M_E = 176,7, M_F = 88,33, M_G = 0

Antwort

Markierung D: M_D = 215 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 45 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, angreifend bei x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·3 + 5·4·2

R_B = 190/4 = 47,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 47,5 = 22,5 kN

Schnitt bei x = 3 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 22,5·3 − 5·3·1,5 = 45 kN·m

Antwort

M_x = 45 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 49,66 × 10⁶ mm⁴

Flächenträgheitsmoment: Für ein Rechteck gilt um seine eigene Schwerachse I = bh³/12 und um seine Grundlinie bh³/3 (Satz von Steiner I = I_c + A·d²). Ein Loch wird berücksichtigt, indem man sein I abzieht, solange beide Teile dieselbe Achse haben. Das elastische Widerstandsmoment ist S = I/c, wobei c der Abstand zur Randfaser ist.

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − t_w) breit und h_w = H − 2t_f hoch und haben die Achse x gemeinsam.

h_w = 220 − 2·22 = 176 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·220³ − 86·176³)/12

I_x = 4,966 × 10⁷ mm⁴ = 49,66 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 49,66 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 98,27 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat I_c = bh³/12 und ein Kreis I_c = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (30000·100 − 1600·70)/(30000 − 1600) = 101,7 mm

Volle Platte um ȳ

150·200³/12 + 30000·−1,69² = 100,1 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

40·40³/12 + 1600·−31,69² = 1,82 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 98,27 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 98,27 × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 81,39 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Radius des Mohrschen Kreises

τ_max = R = √(((−60 − 50)/2)² + −60²) = 81,39 MPa

Antwort

τ_max = 81,39 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_n = 141,3 MPa

Spannungen in der Wand

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 2·500/5 = 200 MPa

σ_a = pr/(2t) = 100 MPa

Auf die Naht transformieren

Lege x entlang der Achse (σ_a) und y in Umfangsrichtung (σ_h). Die Normale der Naht bildet mit der Achse den Winkel 90° − α.

σ_n = 100·sin²50° + 200·cos²50° = 141,3 MPa

Antwort

σ_n = 141,3 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ = 2,222 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung

δ = wL⁴/(8EI) = 8·2000⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 2,222 mm

Antwort

δ = 2,222 mm

12.Durchbiegung

Antwort: I_req = 51,14 × 10⁶ mm⁴

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·2000⁴/(384·11000·5,556) = 5,114 × 10⁷ mm⁴

I_req = 51,14 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_req = 51,14 × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 284,2 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/1250² = 284245 N = 284,2 kN

Antwort

P_cr = 284,2 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 1,919 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·6000 = 12000 mm

KL/r = 12000/20 = 600

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/600² = 1,919 MPa

Antwort

σ_cr = 1,919 MPa

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