Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 25 mm, E = 200 GPa) steckt in einem Rohr aus Messing (Außendurchmesser 120 mm, Innendurchmesser 50 mm, E = 100 GPa). Beide sind 600 mm lang und werden zwischen starren Platten mit 80 kN zusammengedrückt. Bestimme die Verkürzung δ.

P = 80 kNStab: Ø25 mm, E = 200 GPaRohr: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Segment aus Stahl (Durchmesser 30 mm, Länge 500 mm, E = 200 GPa) und ein Segment aus Messing (Durchmesser 60 mm, Länge 400 mm, E = 100 GPa) sind stumpf verbunden und zwischen zwei starren Wänden eingespannt. Am Übergang wirkt eine axiale Last von 30 kN in Richtung Segment 2. Bestimme den Betrag der Spannung σ₂ in Segment 2.

Segment 1: Stahl, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaSegment 2: Messing, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Aluminium ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 200 N·md = 25 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle überträgt 75 kW bei 750 U/min. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

P = 75 kWN = 750 rpmd_o = 80 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Der Kragarm ist in A eingespannt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P im Abstand 2 m von A. Bestimme das Biegemoment M_A an der Einspannung A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 2 mP = 15 kN bei 2 mw = 10 kN/m von 0 bis 2 m

M_A = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

50 kN @ 0 m55 kN @ 6 m10 kN @ 2 m5 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Eine Platte von 120 mm × 300 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 40 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 195 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 120 mmh = 300 mmd = 40 mmLochmittelpunkt: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 10 kN·m. Bestimme die Biegespannung σ_unten an der Unterkante.

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 280 mmM = 10 kN·m

σ_unten = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = −70 MPa, σᵧ = −40 MPa und τₓᵧ = −20 MPa, mit σ_z = 0. Bestimme die absolut größte Schubspannung τ_abs im Punkt (unter Berücksichtigung aller Ebenen im Raum).

σ_x = −70 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = 20 MPa, σᵧ = 100 MPa und τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Der Werkstoff hat eine Streckgrenze von 420 MPa. Bestimme die Sicherheit n gegen Fließen nach dem Kriterium von Tresca (Schubspannungshypothese).

σ_x = 20 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand a = 5 m vom Auflager A. Bestimme die Durchbiegung δ_P unter der Last.

P = 18 kNa = 5 mL = 6 mE = 200 GPa (Stahl)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein einseitig eingespannter Träger ist in A eingespannt und in B gelenkig gestützt. Er trägt in Feldmitte eine Einzellast P. EI ist konstant. Bestimme die Auflagerkraft R_B an der Stütze.

L = 8 mP = 50 kN bei 4 m

R_B = kN

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Sie muss 50 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 50 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 0,04648 mm

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·9346 = 1,033 × 10⁹ N

Verkürzung

δ = 80000·600/1,033 × 10⁹ = 0,04648 mm

Antwort

δ = 0,04648 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ₂ = 7,579 MPa

Steifigkeiten

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 100000·2827/400 = 706858 N/mm

Anteil von Segment 2

F₂ = 30000·706858/989602 = 21429 N

Spannung

σ₂ = 21429/2827 = 7,579 MPa (Druck)

Antwort

σ₂ = 7,579 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 11,49 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(26000·38350) = 0,2006 rad

φ = 0,2006·180/π = 11,49°

Antwort

φ = 11,49°

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 13,9 MPa

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2,749 × 10⁶ mm⁴

Maximale Schubspannung

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·40/2,749 × 10⁶ = 13,9 MPa

Antwort

τ_max = 13,9 MPa

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_A = −50 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Den Teil mit dem freien Ende behalten

P: −15·2 = −30 kN·m

w: −10·2²/2 = −20 kN·m

M_A = −30 − 20 = −50 kN·m

Antwort

M_A = −50 kN·m

Negativ bedeutet Zug an der Oberseite.

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 4 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 44,17 kN, R₂ = 85,83 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = −50, M_C = −58,33, M_D = −81,67, M_E = −110 kN·m, M_F = −55, M_G = 0

Antwort

Markierung E: M_E = −110 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 267,2 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat I_c = bh³/12 und ein Kreis I_c = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (36000·150 − 1257·195)/(36000 − 1257) = 148,4 mm

Volle Platte um ȳ

120·300³/12 + 36000·1,628² = 270,1 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

π·40⁴/64 + 1257·46,63² = 2,858 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 267,2 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 267,2 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_unten = 51,42 MPa

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 160·20 = 3200 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

Steg: A_w = 8·280 = 2240 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3200·290 + 2240·140)/5440 = 228,2 mm

Satz von Steiner

Flansch: 160·20³/12 + 3200·(290 − 228,2)² = 1,231 × 10⁷ mm⁴

Steg: 8·280³/12 + 2240·(140 − 228,2)² = 3,207 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,231 × 10⁷ + 3,207 × 10⁷ = 4,439 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

Die Unterkante liegt ȳ von der Achse entfernt.

y = 228,2 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·228,2/4,439 × 10⁷ = 51,42 MPa

Antwort

σ_unten = 51,42 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_abs = 40 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Im Raum ist die absolut größte Schubspannung (σ_max − σ_min)/2 über alle drei Hauptspannungen; im ebenen Spannungszustand ist die dritte null.

Hauptspannungen in der Ebene

C = −55 MPa, R = √((−15)² + (−20)²) = 25 MPa

σ₁ = −30 MPa, σ₂ = −80 MPa, σ_z = 0

Größter der drei Kreise

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(50, 30, 80)/2 = 40 MPa

Antwort

τ_abs = 40 MPa

Hier ist der Kreis außerhalb der Ebene maßgebend: Das absolute Maximum ist größer als das Maximum R in der Ebene.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: n = 4,149

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Fließkriterien: Nach von Mises tritt Fließen ein, wenn σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) die Streckgrenze σ_Y erreicht; nach Tresca, wenn die absolut größte Schubspannung σ_Y/2 erreicht.

Hauptspannungen

C = 60 MPa, R = 41,23 MPa

σ₁ = 101,2 MPa, σ₂ = 18,77 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 101,2 MPa

n = 420/101,2 = 4,149

Antwort

n = 4,149

n > 1 bedeutet, dass der Punkt nicht fließt; Tresca ist etwas konservativer als von Mises.

11.Durchbiegung

Antwort: δ_P = 1,042 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 18000 N, a = 5000 mm, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 18000·5000²·1000²/(3·2,4 × 10¹³·6000) = 1,042 mm

Antwort

δ_P = 1,042 mm

12.Durchbiegung

Antwort: R_B = 15,63 kN

Stütze entfernen

Ohne die Stütze ist der Balken ein Kragarm. Sein freies Ende würde sich unter der Last durchbiegen.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Verträglichkeit an der Stütze

Die Stützkraft R_B allein hebt das freie Ende um R_BL³/(3EI) an. Die Stütze hält B bei null Durchbiegung, also müssen sich beide aufheben. EI kürzt sich heraus.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·50/16 = 15,63 kN

Antwort

R_B = 15,63 kN

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 19,99 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Knicklänge

KL = 2·3000 = 6000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/6000² = 19991 N = 19,99 kN

Antwort

P_cr = 19,99 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 91,72 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 3·50000 = 150000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 91,72 mm

Antwort

d = 91,72 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 174,4, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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