Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Aluminium unter der axialen Last.

P = 80 kNd = 30 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Segment aus Stahl (Durchmesser 20 mm, Länge 600 mm, E = 200 GPa) und ein Segment aus Bronze (Durchmesser 30 mm, Länge 500 mm, E = 110 GPa) sind stumpf verbunden und zwischen zwei starren Wänden eingespannt. Am Übergang wirkt eine axiale Last von 100 kN in Richtung Segment 2. Bestimme den Betrag der Spannung σ₂ in Segment 2.

Segment 1: Stahl, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaSegment 2: Bronze, Ø30 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Hohlwelle aus Messing (Außendurchmesser 30 mm, Innendurchmesser 15 mm, Länge 0,8 m) ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen durch ein Drehmoment von 1500 N·m verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ in Grad.

T = 1500 N·md_o = 30 mmd_i = 15 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle soll 100 kW bei 3000 U/min übertragen, ohne dass die Schubspannung 60 MPa überschreitet. Bestimme den kleinsten geeigneten Durchmesser d.

P = 100 kWN = 3000 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

25 kN @ 6 m10 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 3 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 4 mP = 55 kN bei 3 mw = 12 kN/m von 0 bis 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 5 kN·m. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_oben an der Oberkante.

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 160 mmM = 5 kN·m

σ_oben = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = 40 MPa, σᵧ = 100 MPa und τₓᵧ = 20 MPa (Zug positiv). Das Element wird um 20° gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Bestimme die Normalspannung σ_y′ auf den Flächen des gedrehten Elements, die senkrecht zur gedrehten y′-Achse stehen.

σ_x = 40 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 20°

σ_y′ = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 130 MPa, σᵧ = 90 MPa und τₓᵧ = 30 MPa (Zug positiv). Bestimme die Schubspannung τ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 40° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist (positiv im selben Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Neigung θ_A des Balkens am Auflager A im Bogenmaß.

w = 8 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

P = 9 kNw = 8 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (Stahl)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Sie muss 25 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 25 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 1,617 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 80·1000/706,9 = 113,2 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 113,2/70000 = 0,001617 = 1617 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,001617·1000 mm = 1,617 mm

Antwort

δ = 1,617 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ₂ = 84,54 MPa

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Steifigkeiten

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 110000·706,9/500 = 155509 N/mm

Anteil von Segment 2

F₂ = 100000·155509/260229 = 59759 N

Spannung

σ₂ = 59759/706,9 = 84,54 MPa (Druck)

Antwort

σ₂ = 84,54 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 23,65 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(30⁴ − 15⁴)/32 = 74551 mm⁴

Verdrehwinkel

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·800/(39000·74551) = 0,4127 rad

φ = 0,4127·180/π = 23,65°

Antwort

φ = 23,65°

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 30,01 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 100000/314,2 = 318,3 N·m

Durchmesser aus der zulässigen Spannung

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·318310/(π·60)) = 30,01 mm

Antwort

d = 30,01 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: D (x = 6 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 72,5 kN, R₂ = 72,5 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 125, M_C = 210, M_D = 255 kN·m, M_E = 210, M_F = 125, M_G = 0

Antwort

Markierung D: M_D = 255 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 59,25 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, angreifend bei x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·3 + 12·4·2

R_B = 261/4 = 65,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 103 − 65,25 = 37,75 kN

Schnitt bei x = 3 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 37,75·3 − 12·3·1,5 = 59,25 kN·m

Antwort

M_x = 59,25 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 65,32 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

Steg: A_w = 12·300 = 3600 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·307,5 + 3600·150)/6300 = 217,5 mm

Satz von Steiner

Flansch: 180·15³/12 + 2700·(307,5 − 217,5)² = 2,192 × 10⁷ mm⁴

Steg: 12·300³/12 + 3600·(150 − 217,5)² = 4,34 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,192 × 10⁷ + 4,34 × 10⁷ = 6,532 × 10⁷ mm⁴ = 65,32 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 65,32 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_oben = 9,482 MPa

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 200·30 = 6000 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

Steg: A_w = 18·160 = 2880 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·175 + 2880·80)/8880 = 144,2 mm

Satz von Steiner

Flansch: 200·30³/12 + 6000·(175 − 144,2)² = 6,146 × 10⁶ mm⁴

Steg: 18·160³/12 + 2880·(80 − 144,2)² = 1,801 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,146 × 10⁶ + 1,801 × 10⁷ = 2,416 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

Die Oberkante liegt h − ȳ von der Achse entfernt.

y = 190 − 144,2 = 45,81 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·45,81/2,416 × 10⁷ = 9,482 MPa

Antwort

σ_oben = 9,482 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_y′ = 80,13 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Transformationsgleichung für die y′-Fläche

σ_y′ = 70 − (−30)·0,766 − 20·0,6428 = 80,13 MPa

Probe

Die Summe der Normalspannungen ändert sich bei einer Drehung nicht.

σ_x′ = 59,87 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 140 = σ_x + σ_y

Antwort

σ_y′ = 80,13 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_θ = −14,49 MPa

Transformationsgleichung

τ_θ = −20·0,9848 + 30·0,1736 = −14,49 MPa

Antwort

τ_θ = −14,49 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: θ_A = 0,00559 rad

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition). Die Neigung θ = dv/dx ist das erste Integral von M/(EI); in konsistenten Einheiten ergibt sie sich im Bogenmaß.

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Endneigung

θ_A = wL³/(24EI) = 8·3000³/(24·1,61 × 10¹²) = 0,00559 rad

Antwort

θ_A = 0,00559 rad

Das sind 0,3203°.

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 1,184 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 9000 N, w = 8 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(48EI) = 9000·3000³/(48·1,14 × 10¹³) = 0,4441 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 0,7401 mm

Addieren

δ_max = 0,4441 + 0,7401 = 1,184 mm

Antwort

δ_max = 1,184 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 42,64 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/2500² = 42637 N = 42,64 kN

Antwort

P_cr = 42,64 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 35,71 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2·25000 = 50000 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·1050²/(π³·70000))^(1/4) = 35,71 mm

Antwort

d = 35,71 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 117,6, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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