Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Messing, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 50 kNd = 16 mmL = 3 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 25 mm, E = 200 GPa, zulässige Spannung 200 MPa) steckt in einem Rohr aus Kupfer (Außendurchmesser 100 mm, Innendurchmesser 60 mm, E = 120 GPa, zulässige Spannung 80 MPa). Sie werden zwischen starren Platten zusammengedrückt. Bestimme die größte Last P_max.

Stab: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaRohr: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Torsion von WellenMittel

Eine Hohlwelle aus Stahl (Außendurchmesser 50 mm, Innendurchmesser 38 mm, Länge 2 m) ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen durch ein Drehmoment von 250 N·m verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ in Grad.

T = 250 N·md_o = 50 mmd_i = 38 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Stahl mit 30 mm Durchmesser ist in A eingespannt. In B, 1 m von A entfernt, wirkt ein Drehmoment von 400 N·m, und am freien Ende C, weitere 0,8 m entfernt, wirkt ein Drehmoment von 500 N·m im gleichen Drehsinn. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

d = 30 mmT_B = 400 N·mT_C = 500 N·mAB = 1 mBC = 0,8 m

τ_max = MPa

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

15 kN @ 4 m12 kN/m, 4–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 3,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 5 mP = 60 kN bei 3,5 mw = 10 kN/m von 0 bis 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 20 kN·m. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_oben an der Oberkante.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mmM = 20 kN·m

σ_oben = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = 50 MPa, σᵧ = −70 MPa und τₓᵧ = −10 MPa, mit σ_z = 0. Bestimme die absolut größte Schubspannung τ_abs im Punkt (unter Berücksichtigung aller Ebenen im Raum).

σ_x = 50 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Eine Vollwelle mit 25 mm Durchmesser überträgt eine axiale Druckkraft von 50 kN zusammen mit einem Drehmoment von 400 N·m. Bestimme an der Oberfläche der Welle die größte Hauptspannung σ₁.

d = 25 mmF = −50 kNT = 400 N·m

σ₁ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (Stahl)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein einseitig eingespannter Träger ist in A eingespannt und in B gelenkig gestützt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. EI ist konstant. Bestimme den Betrag des Biegemoments M_A an der Einspannung.

L = 3 mw = 10 kN/m

M_A = kN·m

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (Stahl)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Sie muss 45 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 45 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 2487 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 50·1000/201,1 = 248,7 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 248,7/100000 = 0,002487 = 2487 µε

Antwort

ε = 2487 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P_max = 467,6 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·5027 = 7,014 × 10⁸ N

Maßgebende Dehnung

ε = min(0,001, 0,0006667) = 0,0006667 (Kupfer)

Größte Last

P_max = 0,0006667·7,014 × 10⁸ = 467574 N = 467,6 kN

Antwort

P_max = 467,6 kN

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 0,8758 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Verdrehwinkel

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·2000/(80000·408885) = 0,01529 rad

φ = 0,01529·180/π = 0,8758°

Antwort

φ = 0,8758°

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 169,8 MPa

Innere Drehmomente

Drehsinn von T_C als positiv angenommen.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 400 = 900 N·m

Maximale Schubspannung

Der Abschnitt mit dem größten inneren Drehmoment hat die größte Spannung (gleicher Durchmesser).

|T|_max = 900 N·m

τ_max = 16·900000/(π·30³) = 169,8 MPa

Antwort

τ_max = 169,8 MPa

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: D (x = 6 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 40 kN, R₂ = 47 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 80, M_C = 160, M_D = 186 kN·m, M_E = 164, M_F = 94, M_G = 0

Antwort

Markierung D: M_D = 186 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 89,25 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, angreifend bei x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·3,5 + 10·5·2,5

R_B = 335/5 = 67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 67 = 43 kN

Schnitt bei x = 3,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 43·3,5 − 10·3,5·1,75 = 89,25 kN·m

Antwort

M_x = 89,25 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 17,85 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

Steg: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·185 + 3600·90)/4800 = 113,8 mm

Satz von Steiner

Flansch: 120·10³/12 + 1200·(185 − 113,8)² = 6,102 × 10⁶ mm⁴

Steg: 20·180³/12 + 3600·(90 − 113,8)² = 1,175 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,102 × 10⁶ + 1,175 × 10⁷ = 1,785 × 10⁷ mm⁴ = 17,85 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 17,85 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_oben = 25 MPa

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

Steg: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·295 + 3360·140)/7560 = 226,1 mm

Satz von Steiner

Flansch: 140·30³/12 + 4200·(295 − 226,1)² = 2,025 × 10⁷ mm⁴

Steg: 12·280³/12 + 3360·(140 − 226,1)² = 4,687 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,025 × 10⁷ + 4,687 × 10⁷ = 6,711 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

Die Oberkante liegt h − ȳ von der Achse entfernt.

y = 310 − 226,1 = 83,89 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·83,89/6,711 × 10⁷ = 25 MPa

Antwort

σ_oben = 25 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_abs = 60,83 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Im Raum ist die absolut größte Schubspannung (σ_max − σ_min)/2 über alle drei Hauptspannungen; im ebenen Spannungszustand ist die dritte null.

Hauptspannungen in der Ebene

C = −10 MPa, R = √(60² + (−10)²) = 60,83 MPa

σ₁ = 50,83 MPa, σ₂ = −70,83 MPa, σ_z = 0

Größter der drei Kreise

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(121,7, 50,83, 70,83)/2 = 60,83 MPa

Antwort

τ_abs = 60,83 MPa

Hier haben σ₁ und σ₂ entgegengesetzte Vorzeichen, das Maximum R in der Ebene ist also auch das absolute Maximum.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ₁ = 89,04 MPa

Spannungen an der Oberfläche

σ = F/A = −50000/(π·25²/4) = −50000/490,9 = −101,9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·25³) = 130,4 MPa

Mohrscher Spannungskreis

C = σ/2 = −50,93 MPa

R = √((−50,93)² + 130,4²) = 140 MPa

σ₁ = C + R = 89,04 MPa

σ₂ = C − R = −190,9 MPa

Antwort

σ₁ = 89,04 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 5,273 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 5,273 mm

Antwort

δ_max = 5,273 mm

12.Durchbiegung

Antwort: M_A = 11,25 kN·m

Stütze entfernen

Ohne die Stütze ist der Balken ein Kragarm. Sein freies Ende würde sich unter der Last durchbiegen.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Verträglichkeit an der Stütze

Die Stützkraft R_B allein hebt das freie Ende um R_BL³/(3EI) an. Die Stütze hält B bei null Durchbiegung, also müssen sich beide aufheben. EI kürzt sich heraus.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·3/8 = 11,25 kN

Moment an der Einspannung

Momente der Lasten und der Stützkraft um A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 45 − 33,75 = 11,25 kN·m

Antwort

M_A = 11,25 kN·m

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 248,1 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Knicklänge

KL = 2·2000 = 4000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/4000² = 248050 N = 248,1 kN

Antwort

P_cr = 248,1 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 54,71 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 3·45000 = 135000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 54,71 mm

Antwort

d = 54,71 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 109,7, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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