Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 40 mm, E = 200 GPa) steckt in einem Rohr aus Aluminium (Außendurchmesser 80 mm, Innendurchmesser 50 mm, E = 70 GPa). Beide sind 400 mm lang und werden zwischen starren Platten mit 50 kN zusammengedrückt. Bestimme die Verkürzung δ.

P = 50 kNStab: Ø40 mm, E = 200 GPaRohr: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 40 kNAbschnitt 1: Ø25 mm, 0,5 m, Kupfer (E = 117 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 1 m, Kupfer (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Messing ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 200 N·md = 50 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Messing mit 50 mm Durchmesser ist an beiden Enden A und B in starren Wänden eingespannt. In C, 2 m von A und 1,2 m von B entfernt, wird ein Drehmoment von 400 N·m aufgebracht. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

d = 50 mmT₀ = 400 N·ma = 2 mb = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

20 kN @ 10 m50 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 2 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 5 mP = 15 kN bei 2 mw = 2 kN/m von 0 bis 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 25 kN·m. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_oben an der Oberkante.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mmM = 25 kN·m

σ_oben = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −70 MPa, σᵧ = 10 MPa und τₓᵧ = −10 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_p von der x-Achse zur Richtung der größten Hauptspannung, zwischen −90° und 90°.

σ_x = −70 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = 70 MPa, σᵧ = −80 MPa und τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Der Werkstoff hat eine Streckgrenze von 355 MPa. Bestimme die Sicherheit n gegen Fließen nach dem Kriterium von Tresca (Schubspannungshypothese).

σ_x = 70 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (Holz)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand b = 1 m vom Auflager B. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max des Balkens.

P = 21 kNb = 1 mL = 8 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (Stahl)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Sie muss 145 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 145 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 0,04294 mm

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·3063 = 4,657 × 10⁸ N

Verkürzung

δ = 50000·400/4,657 × 10⁸ = 0,04294 mm

Antwort

δ = 0,04294 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 2,049 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 81,49 MPa

σ₂ = 198,9 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 81,49·500/117000 = 0,3482 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 198,9·1000/117000 = 1,7 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,049 mm

Antwort

δ = 2,049 mm

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 0,9577 °

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(39000·613592) = 0,01672 rad

φ = 0,01672·180/π = 0,9577°

Antwort

φ = 0,9577°

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 10,19 MPa

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen. Sind beide Enden eingespannt, liefert die Statik allein nur T_A + T_B = T₀; die zweite Gleichung ist die Verträglichkeit (gleiche Verdrehung beider Teile am belasteten Querschnitt).

Gleichgewicht und Verträglichkeit

T_A + T_B = 400

T_A·a = T_B·b

T_A = 400·1,2/3,2 = 150 N·m

T_B = 400·2/3,2 = 250 N·m

Maximale Schubspannung

Das größere der beiden Drehmomente ist maßgebend (gleicher Durchmesser).

τ_max = 16·250000/(π·50³) = 10,19 MPa

Antwort

τ_max = 10,19 MPa

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 8 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 20 kN, R₂ = 50 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 40, M_C = 80, M_D = 120, M_E = 160 kN·m, M_F = 100, M_G = 0

Antwort

Markierung E: M_E = 160 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 24 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, angreifend bei x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·2 + 2·5·2,5

R_B = 55/5 = 11 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 11 = 14 kN

Schnitt bei x = 2 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 14·2 − 2·2·1 = 24 kN·m

Antwort

M_x = 24 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 14,04 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 200·25 = 5000 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

Steg: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5000·172,5 + 1600·80)/6600 = 150,1 mm

Satz von Steiner

Flansch: 200·25³/12 + 5000·(172,5 − 150,1)² = 2,775 × 10⁶ mm⁴

Steg: 10·160³/12 + 1600·(80 − 150,1)² = 1,127 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,775 × 10⁶ + 1,127 × 10⁷ = 1,404 × 10⁷ mm⁴ = 14,04 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 14,04 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_oben = 132 MPa

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

Steg: A_w = 18·140 = 2520 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·145 + 2520·70)/4120 = 99,13 mm

Satz von Steiner

Flansch: 160·10³/12 + 1600·(145 − 99,13)² = 3,38 × 10⁶ mm⁴

Steg: 18·140³/12 + 2520·(70 − 99,13)² = 6,254 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,38 × 10⁶ + 6,254 × 10⁶ = 9,634 × 10⁶ mm⁴

Biegespannung

Die Oberkante liegt h − ȳ von der Achse entfernt.

y = 150 − 99,13 = 50,87 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·50,87/9,634 × 10⁶ = 132 MPa

Antwort

σ_oben = 132 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_p = −82,98 °

Winkel am Kreis

Punkt x liegt im Mohrschen Kreis unter dem Winkel 2θp zur σ-Achse; der Quadrant ergibt sich aus den Vorzeichen von σₓ − σᵧ und τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−10, −70 − 10) = −166°

Winkel am Element

θ_p = −82,98°

Antwort

θ_p = −82,98°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: n = 2,088

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Fließkriterien: Nach von Mises tritt Fließen ein, wenn σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) die Streckgrenze σ_Y erreicht; nach Tresca, wenn die absolut größte Schubspannung σ_Y/2 erreicht.

Hauptspannungen

C = −5 MPa, R = 85 MPa

σ₁ = 80 MPa, σ₂ = −90 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 170 MPa

n = 355/170 = 2,088

Antwort

n = 2,088

n > 1 bedeutet, dass der Punkt nicht fließt; Tresca ist etwas konservativer als von Mises.

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 10,52 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 10,52 mm

Antwort

δ_max = 10,52 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 33,41 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 21000 N, b = 1000 mm, L = 8000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Lage des Maximums

Setzt man die Neigung im längeren Abschnitt null, erhält man die Lage.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 1000²)/3) = 4583 mm

Maximale Durchbiegung

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 33,41 mm

Antwort

δ_max = 33,41 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 3,876 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Knicklänge

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2000² = 3876 N = 3,876 kN

Antwort

P_cr = 3,876 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 79,73 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 3·145000 = 435000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 79,73 mm

Antwort

d = 79,73 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 150,5, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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