Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Messing, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 80 kNd = 10 mmL = 2 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 25 mm, E = 200 GPa, zulässige Spannung 250 MPa) steckt in einem Rohr aus Kupfer (Außendurchmesser 80 mm, Innendurchmesser 60 mm, E = 120 GPa, zulässige Spannung 50 MPa). Sie werden zwischen starren Platten zusammengedrückt. Bestimme die größte Last P_max.

Stab: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaRohr: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Messing ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 1000 N·md = 50 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle überträgt 100 kW bei 1000 U/min. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

P = 100 kWN = 1000 rpmd_o = 80 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

45 kN @ 2 m10 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Einfeldträger trägt auf einem Teil seiner Spannweite eine Gleichstreckenlast. Bestimme den Abstand x₀ von A bis zu dem Schnitt, in dem das Biegemoment am größten ist.

L = 5 mw = 16 kN/m von 0 bis 4 m

x₀ = m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Eine Platte von 150 mm × 200 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 30 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 80 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 150 mmh = 200 mmd = 30 mmLochmittelpunkt: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein Gusseisenträger hat den dargestellten T-Querschnitt mit dem Flansch oben. Die zulässigen Spannungen betragen 50 MPa auf Zug und 90 MPa auf Druck. Bestimme das größte negative Biegemoment M_allow, das der Träger aufnehmen kann (gib seinen Betrag an).

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 280 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 60 MPa, σᵧ = −20 MPa und τₓᵧ = 50 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_p von der x-Achse zur Richtung der größten Hauptspannung, zwischen −90° und 90°.

σ_x = 60 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 70 MPa, σᵧ = 20 MPa und τₓᵧ = −50 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 45° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = 70 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und an seinem freien Ende eine Einzellast P. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ am freien Ende.

P = 7 kNw = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (Stahl)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt zwei gleiche Einzellasten P in den Drittelspunkten (L/3 von jedem Auflager). Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

P = 16 kNL = 6 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben frei. Sie muss 65 kN mit einer Sicherheit von 2,5 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 65 kNn = 2,5L = 1 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 10186 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 80·1000/78,54 = 1019 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1019/100000 = 0,01019 = 10186 µε

Antwort

ε = 10186 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P_max = 150,9 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·2199 = 3,621 × 10⁸ N

Maßgebende Dehnung

ε = min(0,00125, 0,0004167) = 0,0004167 (Kupfer)

Größte Last

P_max = 0,0004167·3,621 × 10⁸ = 150862 N = 150,9 kN

Antwort

P_max = 150,9 kN

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 1,915 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(39000·613592) = 0,03343 rad

φ = 0,03343·180/π = 1,915°

Antwort

φ = 1,915°

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 13,9 MPa

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2,749 × 10⁶ mm⁴

Maximale Schubspannung

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·40/2,749 × 10⁶ = 13,9 MPa

Antwort

τ_max = 13,9 MPa

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: C (x = 2 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 31,67 kN, R₂ = 23,33 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 31,67, M_C = 63,33 kN·m, M_D = 50, M_E = 36,67, M_F = 23,33, M_G = 0

Antwort

Markierung C: M_C = 63,33 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: x₀ = 2,4 m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 16·4 = 64 kN, angreifend bei x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 16·4·2

R_B = 128/5 = 25,6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 25,6 = 38,4 kN

Querkraftnullstelle

Die Querkraft beginnt bei R_A, bleibt über unbelastete Abschnitte konstant und fällt innerhalb der Last mit der Steigung w.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 38,4/16 = 2,4 m

Antwort

x₀ = 2,4 m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 99,67 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat I_c = bh³/12 und ein Kreis I_c = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (30000·100 − 706,9·80)/(30000 − 706,9) = 100,5 mm

Volle Platte um ȳ

150·200³/12 + 30000·−0,4826² = 100 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−20,48² = 0,3363 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 99,67 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 99,67 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: M_allow = 29,75 kN·m

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

Schwerpunkt

ȳ = (2600·285 + 4480·140)/7080 = 193,2 mm

Oberkante: c = 290 − 193,2 = 96,75 mm

Flächenträgheitsmoment

I = 260·10³/12 + 2600·91,75² + 16·280³/12 + 4480·53,25² = 6,388 × 10⁷ mm⁴

Von jedem Rand zugelassenes Moment

Negatives Moment: oben Zug, unten Druck.

Oberkante: M = 50·6,388 × 10⁷/96,75 = 33,01 kN·m

Unterkante: M = 90·6,388 × 10⁷/193,2 = 29,75 kN·m

Maßgebender Wert

M_allow = min = 29,75 kN·m (Unterkante)

Antwort

M_allow = 29,75 kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_p = 25,67 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Punkt x liegt im Mohrschen Kreis unter dem Winkel 2θp zur σ-Achse; der Quadrant ergibt sich aus den Vorzeichen von σₓ − σᵧ und τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·50, 60 − −20) = 51,34°

Winkel am Element

θ_p = 25,67°

Antwort

θ_p = 25,67°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = −5 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = 45 + 25·0 + −50·1 = −5 MPa

Antwort

σ_θ = −5 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ = 32,89 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 7000 N, w = 20 N/mm, L = 4000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(3EI) = 7000·4000³/(3·2,4 × 10¹³) = 6,222 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 20·4000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 26,67 mm

Addieren

δ = 6,222 + 26,67 = 32,89 mm

Antwort

δ = 32,89 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 30,74 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 16000 N, L = 6000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Eine Last bei L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm

δ₁ = 15,37 mm

Beide Lasten addieren

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 30,74 mm

Antwort

δ_max = 30,74 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 3,57 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Knicklänge

KL = 2·3000 = 6000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/6000² = 3570 N = 3,57 kN

Antwort

P_cr = 3,57 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 66,17 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2,5·65000 = 162500 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 66,17 mm

Antwort

d = 66,17 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 120,9, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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