Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Aluminium, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 12 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 80 kNAbschnitt 1: Ø30 mm, 1 m, Aluminium (E = 70 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 0,5 m, Stahl (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Stahl mit 1 m Länge überträgt ein Drehmoment von 400 N·m. Der Verdrehwinkel zwischen ihren Enden darf 1° nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der diese Grenze einhält.

T = 400 N·mL = 1 mG = 80 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Messing mit 20 mm Durchmesser ist an beiden Enden A und B in starren Wänden eingespannt. In C, 0,5 m von A und 2,5 m von B entfernt, wird ein Drehmoment von 500 N·m aufgebracht. Bestimme den Drehwinkel φ_C des Querschnitts C in Grad.

d = 20 mmT₀ = 500 N·ma = 0,5 mb = 2,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

20 kN @ 6 m6 kN/m, 4–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P. Bestimme das maximale Biegemoment M_max im Balken.

L = 6 mP = 55 kN bei 3 mw = 2 kN/m von 0 bis 6 m

M_max = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein Gusseisenträger hat den dargestellten T-Querschnitt mit dem Flansch oben. Die zulässigen Spannungen betragen 30 MPa auf Zug und 150 MPa auf Druck. Bestimme das größte positive Biegemoment M_allow, das der Träger aufnehmen kann.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 120 MPa, σᵧ = 100 MPa und τₓᵧ = 20 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 100 MPa, σᵧ = 0 MPa und τₓᵧ = −50 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 20° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = 100 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 20 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (Stahl)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment I_req, das diese Grenze einhält.

w = 8 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (Aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (Stahl)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Sie muss 30 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 30 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 5684 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 45·1000/113,1 = 397,9 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 397,9/70000 = 0,005684 = 5684 µε

Antwort

ε = 5684 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 397,9 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 113,2 MPa

σ₂ = 397,9 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 397,9 MPa

Antwort

σ_max = 397,9 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: d = 41,33 mm

Erforderliches polares Flächenträgheitsmoment

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·1000/(80000·0,01745) = 286479 mm⁴

Durchmesser

d = (32J/π)^1/4 = 41,33 mm

Antwort

d = 41,33 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

4.Torsion von Wellen

Antwort: φ_C = 19,48 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen. Sind beide Enden eingespannt, liefert die Statik allein nur T_A + T_B = T₀; die zweite Gleichung ist die Verträglichkeit (gleiche Verdrehung beider Teile am belasteten Querschnitt).

Gleichgewicht und Verträglichkeit

T_A + T_B = 500

T_A·a = T_B·b

T_A = 500·2,5/3 = 416,7 N·m

T_B = 500·0,5/3 = 83,33 N·m

Drehwinkel von C

Verwende Abschnitt AC: Er ist in A eingespannt und überträgt T_A.

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 416667·500/(39000·15708) = 0,3401 rad = 19,48°

Antwort

φ_C = 19,48°

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: D (x = 6 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 26 kN, R₂ = 42 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 52, M_C = 104, M_D = 144 kN·m, M_E = 120, M_F = 72, M_G = 0

Antwort

Markierung D: M_D = 144 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_max = 91,5 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, angreifend bei x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·3 + 2·6·3

R_B = 201/6 = 33,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 33,5 = 33,5 kN

Wo ist V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 27,5 kN

V(3⁺) = 27,5 − 55 = −27,5 kN

Die Querkraft wechselt an der Last das Vorzeichen, das Maximum liegt also unter der Last.

Maximales Moment

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 33,5·3 − 2·3²/2 = 91,5 kN·m

Antwort

M_max = 91,5 kN·m

Es tritt bei x = 3 m von A auf.

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 21,36 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

Steg: A_w = 20·160 = 3200 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·170 + 3200·80)/7200 = 130 mm

Satz von Steiner

Flansch: 200·20³/12 + 4000·(170 − 130)² = 6,533 × 10⁶ mm⁴

Steg: 20·160³/12 + 3200·(80 − 130)² = 1,483 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,533 × 10⁶ + 1,483 × 10⁷ = 2,136 × 10⁷ mm⁴ = 21,36 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 21,36 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: M_allow = 8,783 kN·m

Schwerpunkt

ȳ = (2800·265 + 4160·130)/6960 = 184,3 mm

Oberkante: c = 270 − 184,3 = 85,69 mm

Flächenträgheitsmoment

I = 280·10³/12 + 2800·80,69² + 16·260³/12 + 4160·54,31² = 5,396 × 10⁷ mm⁴

Von jedem Rand zugelassenes Moment

Positives Moment: oben Druck, unten Zug.

Oberkante: M = 150·5,396 × 10⁷/85,69 = 94,45 kN·m

Unterkante: M = 30·5,396 × 10⁷/184,3 = 8,783 kN·m

Maßgebender Wert

M_allow = min = 8,783 kN·m (Unterkante)

Antwort

M_allow = 8,783 kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 22,36 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Radius des Mohrschen Kreises

τ_max = R = √(((120 − 100)/2)² + 20²) = 22,36 MPa

Antwort

τ_max = 22,36 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = 56,16 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = 50 + 50·0,766 + −50·0,6428 = 56,16 MPa

Antwort

σ_θ = 56,16 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 33,33 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 8000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·8000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 33,33 mm

Antwort

δ_max = 33,33 mm

12.Durchbiegung

Antwort: I_req = 274,3 × 10⁶ mm⁴

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·8000⁴/(384·70000·22,22) = 2,743 × 10⁸ mm⁴

I_req = 274,3 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_req = 274,3 × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 4,205 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Knicklänge

KL = 2·6000 = 12000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/12000² = 4205 N = 4,205 kN

Antwort

P_cr = 4,205 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 34,36 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2·30000 = 60000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 34,36 mm

Antwort

d = 34,36 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 174,6, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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