Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab besteht aus einem Segment aus Stahl (Durchmesser 40 mm, Länge 300 mm, E = 200 GPa), das stumpf mit einem Segment aus Bronze (Durchmesser 60 mm, Länge 400 mm, E = 110 GPa) verbunden ist. Er ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen gezogen. Bestimme die axiale Last P, die ihn insgesamt um 0,5 mm dehnt.

Segment 1: Stahl, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPaSegment 2: Bronze, Ø60 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 45 kNAbschnitt 1: Ø40 mm, 0,5 m, Stahl (E = 200 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 1 m, Messing (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Hohlwelle aus Messing (Außendurchmesser 40 mm, Innendurchmesser 30 mm, Länge 0,8 m) ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen durch ein Drehmoment von 250 N·m verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ in Grad.

T = 250 N·md_o = 40 mmd_i = 30 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle soll 20 kW bei 1800 U/min übertragen, ohne dass die Schubspannung 75 MPa überschreitet. Bestimme den kleinsten geeigneten Durchmesser d.

P = 20 kWN = 1800 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Der Kragarm ist in A eingespannt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P im Abstand 0,5 m von A. Bestimme das Biegemoment M_A an der Einspannung A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 2,5 mP = 25 kN bei 0,5 mw = 10 kN/m von 0 bis 2,5 m

M_A = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 1 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 5 mP = 55 kN bei 1 mw = 3 kN/m von 0 bis 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Eine Platte von 120 mm × 150 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 40 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 52,5 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 120 mmh = 150 mmd = 40 mmLochmittelpunkt: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Eine Platte von 120 mm × 150 mm hat einen rechteckigen Ausschnitt von 30 mm Breite und 50 mm Höhe, der auf der vertikalen Mittellinie sitzt und dessen Mittelpunkt 60 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 120 mmh = 150 mmAusschnitt: 30 × 50 mmLochmittelpunkt: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = 80 MPa, σᵧ = 10 MPa und τₓᵧ = −10 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_s zwischen −90° und 90° von der x-Achse zur Normalen der Ebene, in der die Schubspannung ihren größten positiven Wert +R hat (Schub positiv im gleichen Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 40 MPa, σᵧ = 10 MPa und τₓᵧ = 10 MPa (Zug positiv). Bestimme die Schubspannung τ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 40° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist (positiv im selben Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = 40 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 1,5 m von A. Bestimme die Durchbiegung δ_P unter der Last.

P = 21 kNa = 1,5 mL = 5 mE = 200 GPa (Stahl)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment I_req, das diese Grenze einhält.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (Aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (Stahl)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P = 201,6 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Nachgiebigkeiten

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·2827) = 1,286 × 10⁻⁶ mm/N

Last

P = 0,5/2,48 × 10⁻⁶ = 201632 N = 201,6 kN

Antwort

P = 201,6 kN

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 223,8 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 35,81 MPa

σ₂ = 223,8 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 223,8 MPa

Antwort

σ_max = 223,8 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 1,71 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Verdrehwinkel

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·800/(39000·171806) = 0,02985 rad

φ = 0,02985·180/π = 1,71°

Antwort

φ = 1,71°

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 19,31 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m

Durchmesser aus der zulässigen Spannung

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·106103/(π·75)) = 19,31 mm

Antwort

d = 19,31 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_A = −43,75 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Den Teil mit dem freien Ende behalten

P: −25·0,5 = −12,5 kN·m

w: −10·2,5²/2 = −31,25 kN·m

M_A = −12,5 − 31,25 = −43,75 kN·m

Antwort

M_A = −43,75 kN·m

Negativ bedeutet Zug an der Oberseite.

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 50 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, angreifend bei x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1 + 3·5·2,5

R_B = 92,5/5 = 18,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 18,5 = 51,5 kN

Schnitt bei x = 1 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 51,5·1 − 3·1·0,5 = 50 kN·m

Antwort

M_x = 50 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 32,94 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat I_c = bh³/12 und ein Kreis I_c = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (18000·75 − 1257·52,5)/(18000 − 1257) = 76,69 mm

Volle Platte um ȳ

120·150³/12 + 18000·−1,689² = 33,8 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−24,19² = 0,8609 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 32,94 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 32,94 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 33,07 × 10⁶ mm⁴

Schwerpunkt

ȳ = (18000·75 − 1500·60)/(18000 − 1500) = 76,36 mm

Volle Platte um ȳ

120·150³/12 + 18000·−1,364² = 33,78 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

30·50³/12 + 1500·−16,36² = 0,7142 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 33,07 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 33,07 × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_s = −52,97 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Im Mohrschen Kreis liegt der höchste Punkt (+R) 90° vom Hauptspannungspunkt σ₁ entfernt; am Element sind das 45°.

cos 2θ_s = −10/36,4 = −0,2747, sin 2θ_s = −35/36,4 = −0,9615

2θ_s = atan2(−35, −10) = −105,9°

Winkel am Element

θ_s = −52,97°

Probe: θ_s − θ_p = −52,97 − (−7,973) = −45°

Antwort

θ_s = −52,97°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_θ = −13,04 MPa

Transformationsgleichung

τ_θ = −15·0,9848 + 10·0,1736 = −13,04 MPa

Antwort

τ_θ = −13,04 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_P = 5,136 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 21000 N, a = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δ_P = Pa³/(3EI) = 21000·1500³/(3·4,6 × 10¹²) = 5,136 mm

Antwort

δ_P = 5,136 mm

12.Durchbiegung

Antwort: I_req = 5,357 × 10⁶ mm⁴

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·2000⁴/(384·70000·5,556) = 5,357 × 10⁶ mm⁴

I_req = 5,357 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_req = 5,357 × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 143,5 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1750² = 143515 N = 143,5 kN

Antwort

P_cr = 143,5 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 197,4 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Antwort

σ_cr = 197,4 MPa

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