Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 30 mm, E = 200 GPa) steckt in einem Rohr aus Aluminium (Außendurchmesser 120 mm, Innendurchmesser 60 mm, E = 70 GPa). Beide sind 300 mm lang und werden zwischen starren Platten mit 250 kN zusammengedrückt. Bestimme die Verkürzung δ.

P = 250 kNStab: Ø30 mm, E = 200 GPaRohr: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 30 mm, E = 200 GPa, zulässige Spannung 120 MPa) steckt in einem Rohr aus Bronze (Außendurchmesser 120 mm, Innendurchmesser 70 mm, E = 110 GPa, zulässige Spannung 80 MPa). Sie werden zwischen starren Platten zusammengedrückt. Bestimme die größte Last P_max.

Stab: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaRohr: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Torsion von WellenMittel

Eine Hohlwelle aus Stahl (Außendurchmesser 50 mm, Innendurchmesser 30 mm, Länge 2,5 m) ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen durch ein Drehmoment von 100 N·m verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ in Grad.

T = 100 N·md_o = 50 mmd_i = 30 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle soll 5 kW bei 1450 rpm übertragen. Ihr Innendurchmesser soll das 0,7-Fache ihres Außendurchmessers betragen, und die Schubspannung darf 50 MPa nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Außendurchmesser d_o.

P = 5 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme die Querkraft V_x im Schnitt x = 4,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 6 mw = 4 kN/m von 0 bis 6 mx = 4,5 m

V_x = kN

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 1,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 8 mP = 35 kN bei 6 mw = 4 kN/m von 0 bis 8 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x des T-Querschnitts um die waagerechte Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b_f = 160 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 130 mm Breite und 22 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 240 mm und einen Steg mit 8 mm Dicke. Er überträgt ein Biegemoment von 20 kN·m um die Achse x. Bestimme den Betrag der maximalen Biegespannung σ_max im Querschnitt.

B = 130 mmH = 240 mmt_f = 22 mmt_w = 8 mmM = 20 kN·m

σ_max = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = −30 MPa, σᵧ = −70 MPa und τₓᵧ = −10 MPa (Zug positiv). Das Element wird um 30° im Uhrzeigersinn gedreht. Bestimme die Normalspannung σ_y′ auf den Flächen des gedrehten Elements, die senkrecht zur gedrehten y′-Achse stehen.

σ_x = −30 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −10 MPa, σᵧ = −40 MPa und τₓᵧ = 30 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 40° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = −10 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand a = 4 m vom Auflager A. Bestimme die Durchbiegung δ_P unter der Last.

P = 23 kNa = 4 mL = 6 mE = 200 GPa (Stahl)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Holzbalken als Einfeldträger mit Rechteckquerschnitt, 125 mm breit, trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung in Feldmitte darf Spannweite/300 nicht überschreiten. Bestimme die kleinste Querschnittshöhe h_req.

w = 1,5 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (Holz)b = 125 mm

h_req = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Sie muss 140 kN mit einer Sicherheit von 2,5 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 140 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 0,102 mm

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·8482 = 7,351 × 10⁸ N

Verkürzung

δ = 250000·300/7,351 × 10⁸ = 0,102 mm

Antwort

δ = 0,102 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P_max = 577,3 kN

Flächen

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·7461 = 9,621 × 10⁸ N

Maßgebende Dehnung

ε = min(0,0006, 0,0007273) = 0,0006 (Stahl)

Größte Last

P_max = 0,0006·9,621 × 10⁸ = 577268 N = 577,3 kN

Antwort

P_max = 577,3 kN

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 0,3353 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Verdrehwinkel

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 100000·2500/(80000·534071) = 0,005851 rad

φ = 0,005851·180/π = 0,3353°

Antwort

φ = 0,3353°

4.Torsion von Wellen

Antwort: d_o = 16,4 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 5000/151,8 = 32,93 N·m

Außendurchmesser aus der zulässigen Spannung

T = 32,93 N·m = 32929 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·32929/(π·50·0,7599)) = 16,4 mm

d_i = 0,7·16,4 = 11,48 mm

Antwort

d_o = 16,4 mm

Eine Vollwelle bräuchte d = 14,97 mm; die Hohlwelle ist etwas größer, aber viel leichter.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: V_x = −6 kN

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, angreifend bei x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·6·3

R_B = 72/6 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Schnitt bei x = 4,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

V = R_A − (alle Lasten nach unten links vom Schnitt)

V_x = 12 − 4·4,5 = −6 kN

Antwort

V_x = −6 kN

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 32,63 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·6 + 4·8·4

R_B = 338/8 = 42,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 42,25 = 24,75 kN

Schnitt bei x = 1,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 24,75·1,5 − 4·1,5·0,75 = 32,63 kN·m

Antwort

M_x = 32,63 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 8,443 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 160·25 = 4000 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132,5 mm

Steg: A_w = 14·120 = 1680 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·132,5 + 1680·60)/5680 = 111,1 mm

Satz von Steiner

Flansch: 160·25³/12 + 4000·(132,5 − 111,1)² = 2,048 × 10⁶ mm⁴

Steg: 14·120³/12 + 1680·(60 − 111,1)² = 6,395 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,048 × 10⁶ + 6,395 × 10⁶ = 8,443 × 10⁶ mm⁴ = 8,443 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 8,443 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_max = 32,78 MPa

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − t_w) breit und h_w = H − 2t_f hoch und haben die Achse x gemeinsam.

h_w = 240 − 2·22 = 196 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·240³ − 122·196³)/12

I_x = 7,321 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

y = 120 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·120/7,321 × 10⁷ = 32,78 MPa

Antwort

σ_max = 32,78 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_y′ = −68,66 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Transformationsgleichung für die y′-Fläche

σ_y′ = −50 − 20·0,5 − (−10)·(−0,866) = −68,66 MPa

Probe

Die Summe der Normalspannungen ändert sich bei einer Drehung nicht.

σ_x′ = −31,34 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −100 = σ_x + σ_y

Antwort

σ_y′ = −68,66 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = 7,149 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = −25 + 15·0,1736 + 30·0,9848 = 7,149 MPa

Antwort

σ_θ = 7,149 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_P = 34,07 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 23000 N, a = 4000 mm, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 23000·4000²·2000²/(3·2,4 × 10¹²·6000) = 34,07 mm

Antwort

δ_P = 34,07 mm

12.Durchbiegung

Antwort: h_req = 167 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·4500⁴/(384·11000·15) = 4,854 × 10⁷ mm⁴

Erforderliche Höhe

bh³/12 = I_req → h = (12·4,854 × 10⁷/125)^1/3 = 167 mm

Antwort

h_req = 167 mm

In der Praxis wählt man die nächste Standardhöhe über diesem Wert.

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 182,8 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Knicklänge

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/3000² = 182770 N = 182,8 kN

Antwort

P_cr = 182,8 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 53,39 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2,5·140000 = 350000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 53,39 mm

Antwort

d = 53,39 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 112,4, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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