Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab besteht aus einem Segment aus Stahl (Durchmesser 25 mm, Länge 300 mm, E = 200 GPa), das stumpf mit einem Segment aus Messing (Durchmesser 60 mm, Länge 300 mm, E = 100 GPa) verbunden ist. Er ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen gezogen. Bestimme die axiale Last P, die ihn insgesamt um 0,4 mm dehnt.

Segment 1: Stahl, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaSegment 2: Messing, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 15 kNAbschnitt 1: Ø35 mm, 2 m, Aluminium (E = 70 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 2 m, Kupfer (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Stahl mit 3 m Länge überträgt ein Drehmoment von 1500 N·m. Der Verdrehwinkel zwischen ihren Enden darf 1,5° nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der diese Grenze einhält.

T = 1500 N·mL = 3 mG = 80 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle soll 20 kW bei 750 U/min übertragen, ohne dass die Schubspannung 75 MPa überschreitet. Bestimme den kleinsten geeigneten Durchmesser d.

P = 20 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

45 kN @ 4 m4 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 6 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 10 mP = 60 kN bei 6 mw = 8 kN/m von 0 bis 10 mx = 6 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 140 mm Breite und 24 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 320 mm und einen Steg mit 10 mm Dicke. Bestimme sein elastisches Widerstandsmoment S_x für Biegung um die horizontale Schwerachse x.

B = 140 mmH = 320 mmt_f = 24 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 15 kN·m. Bestimme die Biegespannung σ_unten an der Unterkante.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mmM = 15 kN·m

σ_unten = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 120 MPa und τₓᵧ = 20 MPa, mit σ_z = 0. Bestimme die absolut größte Schubspannung τ_abs im Punkt (unter Berücksichtigung aller Ebenen im Raum).

σ_x = 100 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = 140 MPa, σᵧ = −50 MPa und τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Bestimme die Vergleichsspannung nach von Mises σ_vM.

σ_x = 140 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 20 MPa

σ_vM = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 8 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

P = 13 kNw = 2 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (Stahl)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Sie muss 140 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 140 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P = 97,16 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Nachgiebigkeiten

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·2827) = 1,061 × 10⁻⁶ mm/N

Last

P = 0,4/4,117 × 10⁻⁶ = 97163 N = 97,16 kN

Antwort

P = 97,16 kN

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 1,721 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 15,59 MPa

σ₂ = 74,6 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 15,59·2000/70000 = 0,4454 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 74,6·2000/117000 = 1,275 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,721 mm

Antwort

δ = 1,721 mm

3.Torsion von Wellen

Antwort: d = 68,4 mm

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Erforderliches polares Flächenträgheitsmoment

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·3000/(80000·0,02618) = 2,149 × 10⁶ mm⁴

Durchmesser

d = (32J/π)^1/4 = 68,4 mm

Antwort

d = 68,4 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 25,86 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Durchmesser aus der zulässigen Spannung

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·254648/(π·75)) = 25,86 mm

Antwort

d = 25,86 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: C (x = 4 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 54 kN, R₂ = 39 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 100, M_C = 184 kN·m, M_D = 162, M_E = 124, M_F = 70, M_G = 0

Antwort

Markierung C: M_C = 184 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 240 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, angreifend bei x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·6 + 8·10·5

R_B = 760/10 = 76 kN

ΣF_y = 0: R_A = 140 − 76 = 64 kN

Schnitt bei x = 6 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 64·6 − 8·6·3 = 240 kN·m

Antwort

M_x = 240 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: S_x = 1027 × 10³ mm³

Flächenträgheitsmoment: Für ein Rechteck gilt um seine eigene Schwerachse I = bh³/12 und um seine Grundlinie bh³/3 (Satz von Steiner I = I_c + A·d²). Ein Loch wird berücksichtigt, indem man sein I abzieht, solange beide Teile dieselbe Achse haben. Das elastische Widerstandsmoment ist S = I/c, wobei c der Abstand zur Randfaser ist.

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − t_w) breit und h_w = H − 2t_f hoch und haben die Achse x gemeinsam.

h_w = 320 − 2·24 = 272 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·320³ − 130·272³)/12

I_x = 1,643 × 10⁸ mm⁴

Widerstandsmoment

c = H/2 = 160 mm

S_x = I/c = 1,643 × 10⁸/160

S_x = 1,027 × 10⁶ mm³ = 1027 × 10³ mm³

Antwort

S_x = 1027 × 10³ mm³

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_unten = 170,4 MPa

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

Steg: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·125 + 2400·60)/5200 = 95 mm

Satz von Steiner

Flansch: 280·10³/12 + 2800·(125 − 95)² = 2,543 × 10⁶ mm⁴

Steg: 20·120³/12 + 2400·(60 − 95)² = 5,82 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,543 × 10⁶ + 5,82 × 10⁶ = 8,363 × 10⁶ mm⁴

Biegespannung

Die Unterkante liegt ȳ von der Achse entfernt.

y = 95 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·95/8,363 × 10⁶ = 170,4 MPa

Antwort

σ_unten = 170,4 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_abs = 66,18 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Im Raum ist die absolut größte Schubspannung (σ_max − σ_min)/2 über alle drei Hauptspannungen; im ebenen Spannungszustand ist die dritte null.

Hauptspannungen in der Ebene

C = 110 MPa, R = √((−10)² + 20²) = 22,36 MPa

σ₁ = 132,4 MPa, σ₂ = 87,64 MPa, σ_z = 0

Größter der drei Kreise

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(44,72, 132,4, 87,64)/2 = 66,18 MPa

Antwort

τ_abs = 66,18 MPa

Hier ist der Kreis außerhalb der Ebene maßgebend: Das absolute Maximum ist größer als das Maximum R in der Ebene.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_vM = 174,1 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Fließkriterien: Nach von Mises tritt Fließen ein, wenn σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) die Streckgrenze σ_Y erreicht; nach Tresca, wenn die absolut größte Schubspannung σ_Y/2 erreicht.

Hauptspannungen

C = 45 MPa, R = 97,08 MPa

σ₁ = 142,1 MPa, σ₂ = −52,08 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(142,1² − 142,1·(−52,08) + (−52,08)²) = 174,1 MPa

Antwort

σ_vM = 174,1 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 77,5 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 5000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 77,5 mm

Antwort

δ_max = 77,5 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 1,605 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 13000 N, w = 2 N/mm, L = 2000 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(48EI) = 13000·2000³/(48·1,61 × 10¹²) = 1,346 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 0,2588 mm

Addieren

δ_max = 1,346 + 0,2588 = 1,605 mm

Antwort

δ_max = 1,605 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 5,264 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Knicklänge

KL = 2·2500 = 5000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/5000² = 5264 N = 5,264 kN

Antwort

P_cr = 5,264 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 64,53 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 3·140000 = 420000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 64,53 mm

Antwort

d = 64,53 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 124, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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