Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Stahl unter der axialen Last.

P = 30 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Segment aus Stahl (Durchmesser 40 mm, Länge 500 mm, E = 200 GPa) und ein Segment aus Messing (Durchmesser 50 mm, Länge 500 mm, E = 100 GPa) sind stumpf verbunden und zwischen zwei starren Wänden eingespannt. Am Übergang wirkt eine axiale Last von 80 kN in Richtung Segment 2. Bestimme den Betrag der Spannung σ₂ in Segment 2.

Segment 1: Stahl, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaSegment 2: Messing, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Aluminium ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 500 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Aluminium mit 25 mm Durchmesser ist an beiden Enden A und B in starren Wänden eingespannt. In C, 2,5 m von A und 0,8 m von B entfernt, wird ein Drehmoment von 250 N·m aufgebracht. Bestimme das Einspannmoment T_A an der Wand A.

d = 25 mmT₀ = 250 N·ma = 2,5 mb = 0,8 m

T_A = N·m

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme die Querkraft V_x im Schnitt x = 5,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 8 mw = 2 kN/m von 0 bis 8 mx = 5,5 m

V_x = kN

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P. Bestimme das maximale Biegemoment M_max im Balken.

L = 8 mP = 50 kN bei 5 mw = 4 kN/m von 0 bis 8 m

M_max = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein U-Profil liegt mit der offenen Seite nach oben: eine Bodenplatte von 140 mm Breite mit zwei senkrechten Schenkeln, insgesamt 80 mm hoch. Boden und Schenkel sind alle 10 mm dick. Bestimme sein Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b = 140 mmh = 80 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 190 mm Breite und 14 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 380 mm und einen Steg mit 8 mm Dicke. Er überträgt ein Biegemoment von 150 kN·m um die Achse x. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_j am Übergang vom Steg zum Obergurt.

B = 190 mmH = 380 mmt_f = 14 mmt_w = 8 mmM = 150 kN·m

σ_j = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 110 MPa, σᵧ = 10 MPa und τₓᵧ = 10 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

σ_x = 110 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 60 MPa, σᵧ = 20 MPa und τₓᵧ = −40 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 25° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = 60 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Neigung θ_A des Balkens am Auflager A im Bogenmaß.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

P = 30 kNw = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (Stahl)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (Stahl)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (Stahl)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 0,7639 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 30·1000/490,9 = 61,12 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Stahl = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 61,12/200000 = 0,0003056 = 305,6 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,0003056·2500 mm = 0,7639 mm

Antwort

δ = 0,7639 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ₂ = 17,87 MPa

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Steifigkeiten

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 100000·1963/500 = 392699 N/mm

Anteil von Segment 2

F₂ = 80000·392699/895354 = 35088 N

Spannung

σ₂ = 35088/1963 = 17,87 MPa (Druck)

Antwort

σ₂ = 17,87 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 11,08 °

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(26000·79522) = 0,1935 rad

φ = 0,1935·180/π = 11,08°

Antwort

φ = 11,08°

4.Torsion von Wellen

Antwort: T_A = 60,61 N·m

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen. Sind beide Enden eingespannt, liefert die Statik allein nur T_A + T_B = T₀; die zweite Gleichung ist die Verträglichkeit (gleiche Verdrehung beider Teile am belasteten Querschnitt).

Gleichgewicht und Verträglichkeit

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·0,8/3,3 = 60,61 N·m

T_B = 250·2,5/3,3 = 189,4 N·m

Antwort

T_A = 60,61 N·m

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: V_x = −3 kN

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Schnitt bei x = 5,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

V = R_A − (alle Lasten nach unten links vom Schnitt)

V_x = 8 − 2·5,5 = −3 kN

Antwort

V_x = −3 kN

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_max = 123,8 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·5 + 4·8·4

R_B = 378/8 = 47,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 82 − 47,25 = 34,75 kN

Wo ist V = 0?

V(5⁻) = R_A − w·5 = 14,75 kN

V(5⁺) = 14,75 − 50 = −35,25 kN

Die Querkraft wechselt an der Last das Vorzeichen, das Maximum liegt also unter der Last.

Maximales Moment

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 34,75·5 − 4·5²/2 = 123,8 kN·m

Antwort

M_max = 123,8 kN·m

Es tritt bei x = 5 m von A auf.

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 1,703 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In Rechtecke aufteilen

Nimm den Boden über die ganze Breite und die beiden Schenkel darüber (Höhe h − t), damit nichts doppelt gezählt wird.

Grundlage: A₁ = 140·10 = 1400 mm², y₁ = 5 mm

zwei Schenkel: A₂ = 2·10·70 = 1400 mm², y₂ = 10 + 70/2 = 45 mm

Schwerpunkt

ȳ = (1400·5 + 1400·45)/2800 = 25 mm

Satz von Steiner

Grundlage: 140·10³/12 + 1400·(5 − 25)² = 571667 mm⁴

zwei Schenkel: 2·10·70³/12 + 1400·(45 − 25)² = 1,132 × 10⁶ mm⁴

I_x = 571667 + 1,132 × 10⁶

I_x = 1,703 × 10⁶ mm⁴ = 1,703 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 1,703 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_j = 127,3 MPa

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − t_w) breit und h_w = H − 2t_f hoch und haben die Achse x gemeinsam.

h_w = 380 − 2·14 = 352 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·380³ − 182·352³)/12

I_x = 2,073 × 10⁸ mm⁴

Biegespannung

y = 190 − 14 = 176 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁸·176/2,073 × 10⁸ = 127,3 MPa

Antwort

σ_j = 127,3 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 50,99 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Radius des Mohrschen Kreises

τ_max = R = √(((110 − 10)/2)² + 10²) = 50,99 MPa

Antwort

τ_max = 50,99 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = 22,21 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = 40 + 20·0,6428 + −40·0,766 = 22,21 MPa

Antwort

σ_θ = 22,21 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: θ_A = 0,008858 rad

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition). Die Neigung θ = dv/dx ist das erste Integral von M/(EI); in konsistenten Einheiten ergibt sie sich im Bogenmaß.

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 5000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Endneigung

θ_A = wL³/(24EI) = 10·5000³/(24·5,88 × 10¹²) = 0,008858 rad

Antwort

θ_A = 0,008858 rad

Das sind 0,5075°.

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 17,78 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 30000 N, w = 2 N/mm, L = 8000 mm, EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(48EI) = 30000·8000³/(48·2,4 × 10¹³) = 13,33 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 4,444 mm

Addieren

δ_max = 13,33 + 4,444 = 17,78 mm

Antwort

δ_max = 17,78 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 34,88 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Knicklänge

KL = 2·3000 = 6000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/6000² = 34882 N = 34,88 kN

Antwort

P_cr = 34,88 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 49,35 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/7,5 = 200

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Antwort

σ_cr = 49,35 MPa

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