Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung
σ = F/A
Dehnung
ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz
σ = E·ε
Verlängerung
ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung
εT = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung
τ = T·r/J
Vollwelle
J = πd⁴/32
Hohlwelle
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel
φ = TL/(GJ)
Leistung
P = T·ω = 2πnT/60

Methode

  1. Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
  2. Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
  3. Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
  4. Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
  3. Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
  4. Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechteck
I = bh³/12
Satz von Steiner
I = Ic + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt
C = (σx + σy)/2
Radius
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hauptspannungen
σ1,2 = C ± R
Hauptrichtung
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Geneigter Schnitt
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Methode

  1. Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
  2. Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
  4. Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte
δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast
δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast
δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz
δ = δ1 + δ2

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert
K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung
σcr = Pcr/A
Schlankheit
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel
P = ?12300 mm500 mmØ25Ø30δ = 0,3 mm

Ein Stab besteht aus einem Segment aus Stahl (Durchmesser 25 mm, Länge 300 mm, E = 200 GPa), das stumpf mit einem Segment aus Bronze (Durchmesser 30 mm, Länge 500 mm, E = 110 GPa) verbunden ist. Er ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen gezogen. Bestimme die axiale Last P, die ihn insgesamt um 0,3 mm dehnt.

Segment 1: Stahl, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaSegment 2: Bronze, Ø30 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm
P = kN
2.Normalspannung und DehnungSchwer
Ø 40 mmMessing0,5 mØ 16 mmKupfer2 mP = 90 kN

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 90 kNAbschnitt 1: Ø40 mm, 0,5 m, Messing (E = 100 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 2 m, Kupfer (E = 117 GPa)
δ = mm
3.Torsion von WellenMittel
d = 12 mmT = 30 N·m400 mmφ = 4,22°

In einem Torsionsversuch wird eine Vollprobe mit 12 mm Durchmesser durch ein Drehmoment von 30 N·m verdreht. Die beiden Enden einer Messlänge von 400 mm verdrehen sich um 4,22° gegeneinander (der Werkstoff ist noch elastisch). Bestimme den Schubmodul G des Werkstoffs.

T = 30 N·md = 12 mmL = 400 mmφ = 4,22°
G = GPa
4.Torsion von WellenSchwer
d = 30 mmT0​ = 200 N·mACBa = 2,5 mb = 1 m

Eine Vollwelle aus Aluminium mit 30 mm Durchmesser ist an beiden Enden A und B in starren Wänden eingespannt. In C, 2,5 m von A und 1 m von B entfernt, wird ein Drehmoment von 200 N·m aufgebracht. Bestimme das Einspannmoment TA an der Wand A.

d = 30 mmT0 = 200 N·ma = 2,5 mb = 1 m
TA = N·m
5.Querkraft und BiegemomentMittel
w = 8 kN/mP = 55 kNAB4 m

Der Kragarm ist in A eingespannt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P im Abstand 4 m von A. Bestimme das Biegemoment MA an der Einspannung A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 4 mP = 55 kN bei 4 mw = 8 kN/m von 0 bis 4 m
MA = kN·m
6.Querkraft und BiegemomentSchwer
10 kN/m40 kN15 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

40 kN @ 6 m15 kN @ 1 m10 kN/m, 0–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel
150 mm240 mm156 mmØ60xIx​ = ?

Eine Platte von 150 mm × 240 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 60 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 156 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 150 mmh = 240 mmd = 60 mmLochmittelpunkt: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer
100 mm300 mm195 mm40 × 50xIx​ = ?

Eine Platte von 100 mm × 300 mm hat einen rechteckigen Ausschnitt von 40 mm Breite und 50 mm Höhe, der auf der vertikalen Mittellinie sitzt und dessen Mittelpunkt 195 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 100 mmh = 300 mmAusschnitt: 40 × 50 mmLochmittelpunkt: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel
σx​ = 90σy​ = 70τxy​ = −20MPa

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 90 MPa, σᵧ = 70 MPa und τₓᵧ = −20 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θp von der x-Achse zur Richtung der größten Hauptspannung, zwischen −90° und 90°.

σx = 90 MPaσy = 70 MPaτxy = −20 MPa
θp = °
10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer
σx​ = −60σy​ = −10τxy​ = −50MPa

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −60 MPa, σᵧ = −10 MPa und τₓᵧ = −50 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σθ in einem Schnitt, dessen Normale um 60° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σx = −60 MPaσy = −10 MPaτxy = −50 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.DurchbiegungMittel
P = 21 kNABδ0,5 m5,5 m

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 0,5 m von A. Bestimme die Durchbiegung δB am freien Ende B.

P = 21 kNa = 0,5 mL = 6 mE = 200 GPa (Stahl)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.DurchbiegungSchwer
w = 15 kN/mδL = 2 m

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment Ireq, das diese Grenze einhält.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (Aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Knicken von StützenMittel
PL = 2 md = 20 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 20 mm
Pcr = kN
14.Knicken von StützenSchwer
PL = 5 md = 25 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σcr nach Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 25 mm
σcr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P = 31,62 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, Pi = P·EiAi/ΣEA, und σi = Ei·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Nachgiebigkeiten

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·706,9) = 6,431 × 10⁻⁶ mm/N

Last

P = 0,3/9,486 × 10⁻⁶ = 31625 N = 31,62 kN

Antwort

P = 31,62 kN
2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 8,01 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 71,62 MPa
σ2 = 447,6 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ1 = σ1L1/E1 = 71,62·500/100000 = 0,3581 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 447,6·2000/117000 = 7,652 mm
δ = δ1 + δ2 = 8,01 mm

Antwort

δ = 8,01 mm
3.Torsion von Wellen

Antwort: G = 80,03 GPa

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τmax = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment und Winkel

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 4,22·π/180 = 0,07365 rad

Schubmodul

T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·400/(2036·0,07365) = 80033 MPa
G = 80,03 GPa

Antwort

G = 80,03 GPa

Zum Vergleich: Stahl ≈ 80 GPa, Messing ≈ 39 GPa, Aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion von Wellen

Antwort: TA = 57,14 N·m

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τmax = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen. Sind beide Enden eingespannt, liefert die Statik allein nur TA + TB = T₀; die zweite Gleichung ist die Verträglichkeit (gleiche Verdrehung beider Teile am belasteten Querschnitt).

Gleichgewicht und Verträglichkeit

TA + TB = 200
TA·a = TB·b
TA = 200·1/3,5 = 57,14 N·m
TB = 200·2,5/3,5 = 142,9 N·m

Antwort

TA = 57,14 N·m
5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: MA = −284 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Den Teil mit dem freien Ende behalten

P: −55·4 = −220 kN·m
w: −8·4²/2 = −64 kN·m
MA = −220 − 64 = −284 kN·m

Antwort

MA = −284 kN·m

Negativ bedeutet Zug an der Oberseite.

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 4 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R1 = 11,25 kN, R2 = 83,75 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

MA = 0, MB = 6,25, MC = −12,5, MD = −41,25, ME = −80 kN·m, MF = −40, MG = 0

Antwort

Markierung E: ME = −80 kN·m
7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: Ix = 168,2 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat Ic = bh³/12 und ein Kreis Ic = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (36000·120 − 2827·156)/(36000 − 2827) = 116,9 mm

Volle Platte um ȳ

150·240³/12 + 36000·3,068² = 173,1 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

π·60⁴/64 + 2827·39,07² = 4,952 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

Ix = 168,2 × 10⁶ mm⁴

Antwort

Ix = 168,2 × 10⁶ mm⁴
8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: Ix = 220,2 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat Ic = bh³/12 und ein Kreis Ic = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (30000·150 − 2000·195)/(30000 − 2000) = 146,8 mm

Volle Platte um ȳ

100·300³/12 + 30000·3,214² = 225,3 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

40·50³/12 + 2000·48,21² = 5,066 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

Ix = 220,2 × 10⁶ mm⁴

Antwort

Ix = 220,2 × 10⁶ mm⁴
9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θp = −31,72 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

σxyCσ1​σ2​

Winkel am Kreis

Punkt x liegt im Mohrschen Kreis unter dem Winkel 2θp zur σ-Achse; der Quadrant ergibt sich aus den Vorzeichen von σₓ − σᵧ und τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−20, 90 − 70) = −63,43°

Winkel am Element

θp = −31,72°

Antwort

θp = −31,72°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σθ = −65,8 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Transformationsgleichung

σθ = −35 + −25·−0,5 + −50·0,866 = −65,8 MPa

Antwort

σθ = −65,8 MPa
11.Durchbiegung

Antwort: δB = 1,343 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 21000 N, a = 500 mm, L = 6000 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Durchbiegung am freien Ende

Durchbiegung an der Last plus Neigung an der Last mal Restlänge.

δP = Pa³/(3EI) = 0,07675 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,0002303 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,343 mm

Antwort

δB = 1,343 mm
12.Durchbiegung

Antwort: Ireq = 8,036 × 10⁶ mm⁴

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Grenzwert der Durchbiegung

δallow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·2000⁴/(384·70000·5,556) = 8,036 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 8,036 × 10⁶ mm⁴

Antwort

Ireq = 8,036 × 10⁶ mm⁴
13.Knicken von Stützen

Antwort: Pcr = 5,426 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Kritische Last

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1000² = 5426 N = 5,426 kN

Antwort

Pcr = 5,426 kN
14.Knicken von Stützen

Antwort: σcr = 4,318 MPa

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/6,25 = 400

Kritische Spannung

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Antwort

σcr = 4,318 MPa

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