Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 30 mm, E = 200 GPa) steckt in einem Rohr aus Kupfer (Außendurchmesser 100 mm, Innendurchmesser 60 mm, E = 120 GPa). Beide sind 500 mm lang und werden zwischen starren Platten mit 50 kN zusammengedrückt. Bestimme die Verkürzung δ.

P = 50 kNStab: Ø30 mm, E = 200 GPaRohr: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 85 kNAbschnitt 1: Ø25 mm, 1,5 m, Stahl (E = 200 GPa)Abschnitt 2: Ø20 mm, 2 m, Stahl (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Aluminium ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 200 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Stahl überträgt 30 kW bei 300 rpm. Die Schubspannung darf 50 MPa nicht überschreiten, und die Verdrehung darf 0,5° pro m Länge nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der beide Grenzen einhält.

P = 30 kWN = 300 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

25 kN @ 2 m6 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

40 kN @ 12 m60 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein U-Profil liegt mit der offenen Seite nach oben: eine Bodenplatte von 200 mm Breite mit zwei senkrechten Schenkeln, insgesamt 150 mm hoch. Boden und Schenkel sind alle 10 mm dick. Bestimme sein Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b = 200 mmh = 150 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein Gusseisenträger hat den dargestellten T-Querschnitt mit dem Flansch oben. Die zulässigen Spannungen betragen 30 MPa auf Zug und 100 MPa auf Druck. Bestimme das größte positive Biegemoment M_allow, das der Träger aufnehmen kann.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 40 MPa, σᵧ = −30 MPa und τₓᵧ = −50 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_p von der x-Achse zur Richtung der größten Hauptspannung, zwischen −90° und 90°.

σ_x = 40 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 160 MPa, σᵧ = −50 MPa und τₓᵧ = 50 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 30° im Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = 160 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Durchbiegung δ am freien Ende.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (Stahl)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment I_req, das diese Grenze einhält.

w = 4 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (Holz)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Sie muss 150 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 150 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 0,03358 mm

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5027 = 7,446 × 10⁸ N

Verkürzung

δ = 50000·500/7,446 × 10⁸ = 0,03358 mm

Antwort

δ = 0,03358 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 4,004 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 173,2 MPa

σ₂ = 270,6 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 173,2·1500/200000 = 1,299 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 270,6·2000/200000 = 2,706 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,004 mm

Antwort

δ = 4,004 mm

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 1,796 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(26000·613592) = 0,03134 rad

φ = 0,03134·180/π = 1,796°

Antwort

φ = 1,796°

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 61,1 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Durchmesser aus der Festigkeit

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

d_τ = ∛(16·954930/(π·50)) = 45,99 mm

Durchmesser aus der Steifigkeit

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·954930/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 61,1 mm

Maßgebender Durchmesser

Beide Grenzen müssen eingehalten werden, daher ist der größere Durchmesser maßgebend.

d = max(45,99, 61,1) = 61,1 mm

Antwort

d = 61,1 mm

Hier ist die Steifigkeit maßgebend.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: C (x = 2 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 34,67 kN, R₂ = 26,33 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 31,67, M_C = 57,33 kN·m, M_D = 52, M_E = 40,67, M_F = 23,33, M_G = 0

Antwort

Markierung C: M_C = 57,33 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: F (x = 10 m)

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 4 kN, R₂ = 96 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 8, M_C = 16, M_D = 24, M_E = 32, M_F = −80 kN·m, M_G = 0

Antwort

Markierung F: M_F = −80 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 11,15 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In Rechtecke aufteilen

Nimm den Boden über die ganze Breite und die beiden Schenkel darüber (Höhe h − t), damit nichts doppelt gezählt wird.

Grundlage: A₁ = 200·10 = 2000 mm², y₁ = 5 mm

zwei Schenkel: A₂ = 2·10·140 = 2800 mm², y₂ = 10 + 140/2 = 80 mm

Schwerpunkt

ȳ = (2000·5 + 2800·80)/4800 = 48,75 mm

Satz von Steiner

Grundlage: 200·10³/12 + 2000·(5 − 48,75)² = 3,845 × 10⁶ mm⁴

zwei Schenkel: 2·10·140³/12 + 2800·(80 − 48,75)² = 7,308 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,845 × 10⁶ + 7,308 × 10⁶

I_x = 1,115 × 10⁷ mm⁴ = 11,15 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 11,15 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: M_allow = 6,819 kN·m

Schwerpunkt

ȳ = (3000·207,5 + 4000·100)/7000 = 146,1 mm

Oberkante: c = 215 − 146,1 = 68,93 mm

Flächenträgheitsmoment

I = 200·15³/12 + 3000·61,43² + 20·200³/12 + 4000·46,07² = 3,32 × 10⁷ mm⁴

Von jedem Rand zugelassenes Moment

Positives Moment: oben Druck, unten Zug.

Oberkante: M = 100·3,32 × 10⁷/68,93 = 48,17 kN·m

Unterkante: M = 30·3,32 × 10⁷/146,1 = 6,819 kN·m

Maßgebender Wert

M_allow = min = 6,819 kN·m (Unterkante)

Antwort

M_allow = 6,819 kN·m

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_p = −27,5 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Punkt x liegt im Mohrschen Kreis unter dem Winkel 2θp zur σ-Achse; der Quadrant ergibt sich aus den Vorzeichen von σₓ − σᵧ und τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, 40 − −30) = −55,01°

Winkel am Element

θ_p = −27,5°

Antwort

θ_p = −27,5°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = 64,2 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = 55 + 105·0,5 + 50·−0,866 = 64,2 MPa

Antwort

σ_θ = 64,2 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ = 30,38 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 6000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Durchbiegung

δ = wL⁴/(8EI) = 6·6000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 30,38 mm

Antwort

δ = 30,38 mm

12.Durchbiegung

Antwort: I_req = 5,753 × 10⁶ mm⁴

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·1500⁴/(384·11000·4,167) = 5,753 × 10⁶ mm⁴

I_req = 5,753 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_req = 5,753 × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 7,996 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Knicklänge

KL = 1·3000 = 3000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/3000² = 7996 N = 7,996 kN

Antwort

P_cr = 7,996 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 61,41 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 3·150000 = 450000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 61,41 mm

Antwort

d = 61,41 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 114, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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