Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 30 mm, E = 200 GPa) steckt in einem Rohr aus Bronze (Außendurchmesser 100 mm, Innendurchmesser 60 mm, E = 110 GPa). Beide sind 600 mm lang und werden zwischen starren Platten mit 250 kN zusammengedrückt. Bestimme die Verkürzung δ.

P = 250 kNStab: Ø30 mm, E = 200 GPaRohr: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 70 kNAbschnitt 1: Ø30 mm, 0,5 m, Messing (E = 100 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 1 m, Messing (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

In einem Torsionsversuch wird eine Vollprobe mit 10 mm Durchmesser durch ein Drehmoment von 50 N·m verdreht. Die beiden Enden einer Messlänge von 200 mm verdrehen sich um 7,3° gegeneinander (der Werkstoff ist noch elastisch). Bestimme den Schubmodul G des Werkstoffs.

T = 50 N·md = 10 mmL = 200 mmφ = 7,3°

G = GPa

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle soll 5 kW bei 1450 U/min übertragen, ohne dass die Schubspannung 40 MPa überschreitet. Bestimme den kleinsten geeigneten Durchmesser d.

P = 5 kWN = 1450 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Der Kragarm ist in A eingespannt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P im Abstand 0,5 m von A. Bestimme das Biegemoment M_A an der Einspannung A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 3 mP = 35 kN bei 0,5 mw = 2 kN/m von 0 bis 3 m

M_A = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 2 m bis zum freien Ende C aus. Über die ganze Länge A–C wirkt eine Gleichstreckenlast w. Bestimme das Biegemoment M_B am Auflager B. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 6 mw = 6 kN/m von 0 bis 6 mAuflager bei x = 0 und x = 4 m

M_B = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein U-Profil liegt mit der offenen Seite nach oben: eine Bodenplatte von 100 mm Breite mit zwei senkrechten Schenkeln, insgesamt 150 mm hoch. Boden und Schenkel sind alle 8 mm dick. Bestimme die Höhe ȳ des Schwerpunkts über der Unterkante.

b = 100 mmh = 150 mmt = 8 mm

ȳ = mm

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Eine Platte von 150 mm × 150 mm hat einen rechteckigen Ausschnitt von 40 mm Breite und 50 mm Höhe, der auf der vertikalen Mittellinie sitzt und dessen Mittelpunkt 90 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 150 mmh = 150 mmAusschnitt: 40 × 50 mmLochmittelpunkt: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −50 MPa, σᵧ = 90 MPa und τₓᵧ = 40 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

σ_x = −50 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = −10 MPa, σᵧ = −50 MPa und τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). Der Werkstoff hat eine Streckgrenze von 250 MPa. Bestimme die Sicherheit n gegen Fließen nach dem Kriterium von von Mises (Gestaltänderungsenergiehypothese).

σ_x = −10 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −20 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand a = 1,5 m vom Auflager A. Bestimme die Durchbiegung δ_P unter der Last.

P = 14 kNa = 1,5 mL = 8 mE = 200 GPa (Stahl)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment I_req, das diese Grenze einhält.

w = 15 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (Holz)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben frei. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (Stahl)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden eingespannt. Sie muss 85 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 85 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 0,216 mm

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·5027 = 6,943 × 10⁸ N

Verkürzung

δ = 250000·600/6,943 × 10⁸ = 0,216 mm

Antwort

δ = 0,216 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 348,2 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 99,03 MPa

σ₂ = 348,2 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 348,2 MPa

Antwort

σ_max = 348,2 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: G = 79,95 GPa

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment und Winkel

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 7,3·π/180 = 0,1274 rad

Schubmodul

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·200/(981,7·0,1274) = 79947 MPa

G = 79,95 GPa

Antwort

G = 79,95 GPa

Zum Vergleich: Stahl ≈ 80 GPa, Messing ≈ 39 GPa, Aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 16,12 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 5000/151,8 = 32,93 N·m

Durchmesser aus der zulässigen Spannung

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·32929/(π·40)) = 16,12 mm

Antwort

d = 16,12 mm

In der Praxis würdest du auf die nächste Normgröße aufrunden.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_A = −26,5 kN·m

Den Teil mit dem freien Ende behalten

P: −35·0,5 = −17,5 kN·m

w: −2·3²/2 = −9 kN·m

M_A = −17,5 − 9 = −26,5 kN·m

Antwort

M_A = −26,5 kN·m

Negativ bedeutet Zug an der Oberseite.

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_B = −12 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht am ganzen Balken, einschließlich der Last auf dem Kragarm.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, angreifend bei x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·6·3

R_B = 108/4 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 27 = 9 kN

Schnitt bei B, Kragarm behalten

Die Last auf dem Kragarm, w·a, greift a/2 von B entfernt an und erzeugt über dem Auflager ein negatives Moment.

M_B = −w·a²/2 = −6·2²/2 = −12 kN·m

Antwort

M_B = −12 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: ȳ = 59,47 mm

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In Rechtecke aufteilen

Nimm den Boden über die ganze Breite und die beiden Schenkel darüber (Höhe h − t), damit nichts doppelt gezählt wird.

Grundlage: A₁ = 100·8 = 800 mm², y₁ = 4 mm

zwei Schenkel: A₂ = 2·8·142 = 2272 mm², y₂ = 8 + 142/2 = 79 mm

Schwerpunkt

ȳ = (800·4 + 2272·79)/3072 = 59,47 mm

Antwort

ȳ = 59,47 mm

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 41,28 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat I_c = bh³/12 und ein Kreis I_c = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (22500·75 − 2000·90)/(22500 − 2000) = 73,54 mm

Volle Platte um ȳ

150·150³/12 + 22500·1,463² = 42,24 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

40·50³/12 + 2000·16,46² = 0,9588 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 41,28 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 41,28 × 10⁶ mm⁴

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 80,62 MPa

Radius des Mohrschen Kreises

τ_max = R = √(((−50 − 90)/2)² + 40²) = 80,62 MPa

Antwort

τ_max = 80,62 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: n = 4,352

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Fließkriterien: Nach von Mises tritt Fließen ein, wenn σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) die Streckgrenze σ_Y erreicht; nach Tresca, wenn die absolut größte Schubspannung σ_Y/2 erreicht.

Hauptspannungen

C = −30 MPa, R = 28,28 MPa

σ₁ = −1,716 MPa, σ₂ = −58,28 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √((−1,716)² − (−1,716)·(−58,28) + (−58,28)²) = 57,45 MPa

n = 250/57,45 = 4,352

Antwort

n = 4,352

n > 1 bedeutet, dass der Punkt nicht fließt; Tresca ist etwas konservativer als von Mises.

11.Durchbiegung

Antwort: δ_P = 1,733 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 14000 N, a = 1500 mm, b = 6500 mm, L = 8000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 14000·1500²·6500²/(3·3,2 × 10¹³·8000) = 1,733 mm

Antwort

δ_P = 1,733 mm

12.Durchbiegung

Antwort: I_req = 21,57 × 10⁶ mm⁴

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·1500⁴/(384·11000·4,167) = 2,157 × 10⁷ mm⁴

I_req = 21,57 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_req = 21,57 × 10⁶ mm⁴

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 313,9 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Knicklänge

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313,9 kN

Antwort

P_cr = 313,9 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 57,95 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2·85000 = 170000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 57,95 mm

Antwort

d = 57,95 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 103,5, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials