Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Ein Stab besteht aus einem Segment aus Stahl (Durchmesser 25 mm, Länge 300 mm, E = 200 GPa), das stumpf mit einem Segment aus Messing (Durchmesser 50 mm, Länge 500 mm, E = 100 GPa) verbunden ist. Er ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen gezogen. Bestimme die axiale Last P, die ihn insgesamt um 0,3 mm dehnt.

Segment 1: Stahl, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaSegment 2: Messing, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die gesamte Verlängerung δ.

P = 60 kNAbschnitt 1: Ø30 mm, 1 m, Aluminium (E = 70 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 2 m, Messing (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Stahl ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 750 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Aluminium mit 50 mm Durchmesser ist in A eingespannt. In B, 1 m von A entfernt, wirkt ein Drehmoment von 500 N·m, und am freien Ende C, weitere 1 m entfernt, wirkt ein Drehmoment von 250 N·m im gleichen Drehsinn. Bestimme den Betrag des Verdrehwinkels φ_C des Endes C in Grad.

d = 50 mmT_B = 500 N·mT_C = 250 N·mAB = 1 mBC = 1 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 3 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 4 mw = 3 kN/m von 0 bis 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Einfeldträger trägt auf einem Teil seiner Spannweite eine Gleichstreckenlast. Bestimme das maximale Biegemoment M_max im Balken.

L = 10 mw = 4 kN/m von 3 bis 9 m

M_max = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein U-Profil liegt mit der offenen Seite nach oben: eine Bodenplatte von 200 mm Breite mit zwei senkrechten Schenkeln, insgesamt 150 mm hoch. Boden und Schenkel sind alle 20 mm dick. Bestimme sein Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b = 200 mmh = 150 mmt = 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 10 kN·m. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_oben an der Oberkante.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 120 mmM = 10 kN·m

σ_oben = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = 150 MPa, σᵧ = 50 MPa und τₓᵧ = −10 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_s zwischen −90° und 90° von der x-Achse zur Normalen der Ebene, in der die Schubspannung ihren größten positiven Wert +R hat (Schub positiv im gleichen Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = 150 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −20 MPa, σᵧ = −10 MPa und τₓᵧ = 10 MPa (Zug positiv). Bestimme die Schubspannung τ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 15° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist (positiv im selben Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = −20 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die Neigung θ_A des Balkens am Auflager A im Bogenmaß.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.DurchbiegungSchwer

Ein Holzbalken als Einfeldträger mit Rechteckquerschnitt, 75 mm breit, trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung in Feldmitte darf Spannweite/300 nicht überschreiten. Bestimme die kleinste Querschnittshöhe h_req.

w = 4 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (Holz)b = 75 mm

h_req = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden eingespannt. Sie muss 125 kN mit einer Sicherheit von 2 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 125 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (Aluminium)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P = 53,55 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Nachgiebigkeiten

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1963) = 2,546 × 10⁻⁶ mm/N

Last

P = 0,3/5,602 × 10⁻⁶ = 53550 N = 53,55 kN

Antwort

P = 53,55 kN

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 7,181 mm

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 84,88 MPa

σ₂ = 298,4 MPa

Verlängerungen der Abschnitte addieren

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 84,88·1000/70000 = 1,213 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 298,4·2000/100000 = 5,968 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,181 mm

Antwort

δ = 7,181 mm

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 5,343 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2500/(80000·251327) = 0,09325 rad

φ = 0,09325·180/π = 5,343°

Antwort

φ = 5,343°

4.Torsion von Wellen

Antwort: φ_C = 3,591 °

Innere Drehmomente

Drehsinn von T_C als positiv angenommen.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 500 = 750 N·m

Verdrehung jedes Abschnitts

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 750000·1000/(26000·613592) = 0,04701 rad

φ_BC = 250000·1000/(26000·613592) = 0,01567 rad

Verdrehung des Endes C

φ_C = 0,04701 + 0,01567 = 0,06268 rad → |φ_C| = 3,591°

Antwort

φ_C = 3,591°

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 4,5 kN·m

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, angreifend bei x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·4·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Schnitt bei x = 3 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 6·3 − 3·3·1,5 = 4,5 kN·m

Antwort

M_x = 4,5 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_max = 40,32 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, angreifend bei x̄ = 6 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·6·6

R_B = 144/10 = 14,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 14,4 = 9,6 kN

Querkraftnullstelle

Die Querkraft beginnt bei R_A, bleibt über unbelastete Abschnitte konstant und fällt innerhalb der Last mit der Steigung w.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 9,6/4 = 5,4 m

Maximales Moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 3)²/2 = 9,6·5,4 − 4·2,4²/2 = 40,32 kN·m

Antwort

M_max = 40,32 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 20,17 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In Rechtecke aufteilen

Nimm den Boden über die ganze Breite und die beiden Schenkel darüber (Höhe h − t), damit nichts doppelt gezählt wird.

Grundlage: A₁ = 200·20 = 4000 mm², y₁ = 10 mm

zwei Schenkel: A₂ = 2·20·130 = 5200 mm², y₂ = 20 + 130/2 = 85 mm

Schwerpunkt

ȳ = (4000·10 + 5200·85)/9200 = 52,39 mm

Satz von Steiner

Grundlage: 200·20³/12 + 4000·(10 − 52,39)² = 7,321 × 10⁶ mm⁴

zwei Schenkel: 2·20·130³/12 + 5200·(85 − 52,39)² = 1,285 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,321 × 10⁶ + 1,285 × 10⁷

I_x = 2,017 × 10⁷ mm⁴ = 20,17 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 20,17 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_oben = 48,88 MPa

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

Steg: A_w = 10·120 = 1200 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·125 + 1200·60)/4000 = 105,5 mm

Satz von Steiner

Flansch: 280·10³/12 + 2800·(125 − 105,5)² = 1,088 × 10⁶ mm⁴

Steg: 10·120³/12 + 1200·(60 − 105,5)² = 3,924 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,088 × 10⁶ + 3,924 × 10⁶ = 5,012 × 10⁶ mm⁴

Biegespannung

Die Oberkante liegt h − ȳ von der Achse entfernt.

y = 130 − 105,5 = 24,5 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·24,5/5,012 × 10⁶ = 48,88 MPa

Antwort

σ_oben = 48,88 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_s = −50,65 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Im Mohrschen Kreis liegt der höchste Punkt (+R) 90° vom Hauptspannungspunkt σ₁ entfernt; am Element sind das 45°.

cos 2θ_s = −10/50,99 = −0,1961, sin 2θ_s = −50/50,99 = −0,9806

2θ_s = atan2(−50, −10) = −101,3°

Winkel am Element

θ_s = −50,65°

Probe: θ_s − θ_p = −50,65 − (−5,655) = −45°

Antwort

θ_s = −50,65°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_θ = 11,16 MPa

Transformationsgleichung

τ_θ = −−5·0,5 + 10·0,866 = 11,16 MPa

Antwort

τ_θ = 11,16 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: θ_A = 0,00465 rad

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition). Die Neigung θ = dv/dx ist das erste Integral von M/(EI); in konsistenten Einheiten ergibt sie sich im Bogenmaß.

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Endneigung

θ_A = wL³/(24EI) = 6·2500³/(24·8,4 × 10¹¹) = 0,00465 rad

Antwort

θ_A = 0,00465 rad

Das sind 0,2664°.

12.Durchbiegung

Antwort: h_req = 213,6 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Grenzwert der Durchbiegung

δ_allow = L/300 = 3500/300 = 11,67 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3500⁴/(384·11000·11,67) = 6,09 × 10⁷ mm⁴

Erforderliche Höhe

bh³/12 = I_req → h = (12·6,09 × 10⁷/75)^1/3 = 213,6 mm

Antwort

h_req = 213,6 mm

In der Praxis wählt man die nächste Standardhöhe über diesem Wert.

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 7,197 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/2500² = 7197 N = 7,197 kN

Antwort

P_cr = 7,197 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 63,82 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 2·125000 = 250000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 63,82 mm

Antwort

d = 63,82 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 94,02, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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