Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung
σ = F/A
Dehnung
ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz
σ = E·ε
Verlängerung
ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung
εT = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung
τ = T·r/J
Vollwelle
J = πd⁴/32
Hohlwelle
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel
φ = TL/(GJ)
Leistung
P = T·ω = 2πnT/60

Methode

  1. Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
  2. Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
  3. Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
  4. Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment
V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung
σ = M·y/I
Rechteck
I = bh³/12
Widerstandsmoment
W = I/ymax
Einfeldträger, Gleichstreckenlast
Mmax = wL²/8

Methode

  1. Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
  2. Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
  3. Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
  4. Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rechteck
I = bh³/12
Satz von Steiner
I = Ic + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt
C = (σx + σy)/2
Radius
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Hauptspannungen
σ1,2 = C ± R
Hauptrichtung
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Geneigter Schnitt
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Methode

  1. Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
  2. Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
  4. Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte
δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast
δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast
δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz
δ = δ1 + δ2

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast
Pcr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert
K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung
σcr = Pcr/A
Schlankheit
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel
Ø 10 mmMessing3 mP = 100 kN

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Messing unter der axialen Last.

P = 100 kNd = 10 mmL = 3 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Normalspannung und DehnungSchwer
Ø 35 mmKupfer2 mØ 16 mmAluminium1,5 mP = 70 kN

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σmax im Stab.

P = 70 kNAbschnitt 1: Ø35 mm, 2 m, Kupfer (E = 117 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 1,5 m, Aluminium (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.Torsion von WellenMittel
do​ = 60, di​ = 30 mmT = 750 N·mL = 1,5 m

Eine Hohlwelle aus Stahl (Außendurchmesser 60 mm, Innendurchmesser 30 mm, Länge 1,5 m) ist an einem Ende eingespannt und wird am anderen durch ein Drehmoment von 750 N·m verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ in Grad.

T = 750 N·mdo = 60 mmdi = 30 mmL = 1,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsion von WellenSchwer
d = 60 mmTB​ = 100 N·mTC​ = 1500 N·mABC1,5 m1 m

Eine Vollwelle aus Messing mit 60 mm Durchmesser ist in A eingespannt. In B, 1,5 m von A entfernt, wirkt ein Drehmoment von 100 N·m, und am freien Ende C, weitere 1 m entfernt, wirkt ein Drehmoment von 1500 N·m im entgegengesetzten Drehsinn. Bestimme die maximale Schubspannung τmax in der Welle.

d = 60 mmTB = 100 N·mTC = 1500 N·mAB = 1,5 mBC = 1 m
τmax = MPa
5.Querkraft und BiegemomentMittel
P1​ = 30 kNP2​ = 65 kNABC3 m3 m1 m

Der Balken liegt in A auf einem Festlager und in B auf einem Loslager und kragt über B um 1 m bis zum freien Ende C aus. Er trägt eine Einzellast P1 zwischen den Auflagern und eine Einzellast P2 in C. Bestimme das Biegemoment MB am Auflager B. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 7 mP1 = 30 kN bei 3 mP2 = 65 kN bei 7 mAuflager bei x = 0 und x = 6 m
MB = kN·m
6.Querkraft und BiegemomentSchwer
4 kN/m10 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

10 kN @ 6 m4 kN/m, 0–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel
B = 200H = 275t = 14xMaße in mm

Ein rechteckiger Hohlquerschnitt (Kastenquerschnitt) hat die Außenbreite B = 200 mm, die Außenhöhe H = 275 mm und eine gleichmäßige Wanddicke t = 14 mm. Bestimme seinen Trägheitsradius r um die horizontale Schwerachse.

B = 200 mmH = 275 mmt = 14 mm
r = mm
8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer
150 mm300 mm120 mm80 × 20xIx​ = ?

Eine Platte von 150 mm × 300 mm hat einen rechteckigen Ausschnitt von 80 mm Breite und 20 mm Höhe, der auf der vertikalen Mittellinie sitzt und dessen Mittelpunkt 120 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment Ix um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 150 mmh = 300 mmAusschnitt: 80 × 20 mmLochmittelpunkt: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel
σx​ = 120σy​ = 30τxy​ = −20MPa

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 120 MPa, σᵧ = 30 MPa und τₓᵧ = −20 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τmax.

σx = 120 MPaσy = 30 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer
σx​ = 10σy​ = 80τxy​ = 20MPa

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 10 MPa, σᵧ = 80 MPa und τₓᵧ = 20 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σθ in einem Schnitt, dessen Normale um 15° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σx = 10 MPaσy = 80 MPaτxy = 20 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.DurchbiegungMittel
P = 7 kNABδ2 m6 m

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand a = 2 m vom Auflager A. Bestimme die Durchbiegung δP unter der Last.

P = 7 kNa = 2 mL = 8 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.DurchbiegungSchwer
w = 5 kN/mδL = 2 m

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w. Seine Durchbiegung darf Spannweite/360 nicht überschreiten. Bestimme das kleinste Flächenträgheitsmoment Ireq, das diese Grenze einhält.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (Aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Knicken von StützenMittel
PL = 6 md = 60 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast Pcr.

L = 6 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 60 mm
Pcr = kN
14.Knicken von StützenSchwer
PL = 1,5 md = 50 mmQuerschnitt

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σcr nach Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (Stahl)d = 50 mm
σcr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 38,2 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 100·1000/78,54 = 1273 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Messing = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1273/100000 = 0,01273 = 12732 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,01273·3000 mm = 38,2 mm

Antwort

δ = 38,2 mm
2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σmax = 348,2 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 72,76 MPa
σ2 = 348,2 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σmax = 348,2 MPa

Antwort

σmax = 348,2 MPa
3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 0,6755 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τmax = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1,193 × 10⁶ mm⁴

Verdrehwinkel

T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 1,5 m = 1500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 750000·1500/(80000·1,193 × 10⁶) = 0,01179 rad
φ = 0,01179·180/π = 0,6755°

Antwort

φ = 0,6755°
4.Torsion von Wellen

Antwort: τmax = 35,37 MPa

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τmax = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(do⁴ − di⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Innere Drehmomente

Drehsinn von TC als positiv angenommen.

TBC = TC = 1500 N·m
TAB = TC − TB = 1500 − 100 = 1400 N·m

Maximale Schubspannung

Der Abschnitt mit dem größten inneren Drehmoment hat die größte Spannung (gleicher Durchmesser).

|T|max = 1500 N·m
τmax = 16·1,5 × 10⁶/(π·60³) = 35,37 MPa

Antwort

τmax = 35,37 MPa
5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: MB = −65 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht am ganzen Balken. Auch die Last am Kragende wirkt um A.

ΣMA = 0: RB·6 = 30·3 + 65·7
RB = 545/6 = 90,83 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 90,83 = 4,167 kN

Schnitt bei B, Kragarm behalten

Auf den Kragarm wirkt nur P2 mit dem Hebelarm a. Sie biegt den Balken über dem Auflager nach oben (negatives Moment).

MB = −P2·a = −65·1 = −65 kN·m

Antwort

MB = −65 kN·m
6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: F (x = 5 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R1 = 8 kN, R2 = 22 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

MA = 0, MB = 6, MC = 8, MD = 6, ME = 0, MF = −10 kN·m, MG = 0

Antwort

Markierung F: MF = −10 kN·m
7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: r = 102,2 mm

Flächenträgheitsmoment: Für ein Rechteck gilt um seine eigene Schwerachse I = bh³/12 und um seine Grundlinie bh³/3 (Satz von Steiner I = Ic + A·d²). Ein Loch wird berücksichtigt, indem man sein I abzieht, solange beide Teile dieselbe Achse haben. Das elastische Widerstandsmoment ist S = I/c, wobei c der Abstand zur Randfaser ist. Der Trägheitsradius r = √(I/A) ist der Abstand, in dem die ganze Fläche dasselbe I ergäbe; er wird beim Knicken von Stützen verwendet.

Nettofläche und Netto-Flächenträgheitsmoment

b = 172 mm, h = 247 mm
A = BH − bh = 200·275 − 172·247 = 12516 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 1,306 × 10⁸ mm⁴

Trägheitsradius

r = √(I/A) = √(1,306 × 10⁸/12516) = 102,2 mm

Antwort

r = 102,2 mm
8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: Ix = 336 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat Ic = bh³/12 und ein Kreis Ic = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (45000·150 − 1600·120)/(45000 − 1600) = 151,1 mm

Volle Platte um ȳ

150·300³/12 + 45000·−1,106² = 337,6 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

80·20³/12 + 1600·−31,11² = 1,601 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

Ix = 336 × 10⁶ mm⁴

Antwort

Ix = 336 × 10⁶ mm⁴
9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τmax = 49,24 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

στxyCτmax​

Radius des Mohrschen Kreises

τmax = R = √(((120 − 30)/2)² + −20²) = 49,24 MPa

Antwort

τmax = 49,24 MPa
10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σθ = 24,69 MPa

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Transformationsgleichung

σθ = 45 + −35·0,866 + 20·0,5 = 24,69 MPa

Antwort

σθ = 24,69 MPa
11.Durchbiegung

Antwort: δP = 10,53 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 7000 N, a = 2000 mm, b = 6000 mm, L = 8000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung unter der Last

δP = Pa²b²/(3EIL) = 7000·2000²·6000²/(3·3,99 × 10¹²·8000) = 10,53 mm

Antwort

δP = 10,53 mm
12.Durchbiegung

Antwort: Ireq = 2,679 × 10⁶ mm⁴

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Grenzwert der Durchbiegung

δallow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Erforderliches Flächenträgheitsmoment

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·2000⁴/(384·70000·5,556) = 2,679 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 2,679 × 10⁶ mm⁴

Antwort

Ireq = 2,679 × 10⁶ mm⁴
13.Knicken von Stützen

Antwort: Pcr = 12,21 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Knicklänge

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritische Last

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/6000² = 12209 N = 12,21 kN

Antwort

Pcr = 12,21 kN
14.Knicken von Stützen

Antwort: σcr = 137,1 MPa

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei Pcr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/12,5 = 120

Kritische Spannung

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137,1 MPa

Antwort

σcr = 137,1 MPa

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