Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Kupfer, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 20 mmL = 2 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 50 kNAbschnitt 1: Ø40 mm, 1,5 m, Aluminium (E = 70 GPa)Abschnitt 2: Ø20 mm, 0,5 m, Kupfer (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Messing ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 750 N·md = 40 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Aluminium überträgt 50 kW bei 300 rpm. Die Schubspannung darf 80 MPa nicht überschreiten, und die Verdrehung darf 0,25° pro m Länge nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der beide Grenzen einhält.

P = 50 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

25 kN @ 2 m5 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 2 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 5 mP = 55 kN bei 4 mw = 8 kN/m von 0 bis 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein U-Profil liegt mit der offenen Seite nach oben: eine Bodenplatte von 220 mm Breite mit zwei senkrechten Schenkeln, insgesamt 70 mm hoch. Boden und Schenkel sind alle 10 mm dick. Bestimme sein Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse x durch seinen Schwerpunkt.

b = 220 mmh = 70 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 15 kN·m. Bestimme die Biegespannung σ_unten an der Unterkante.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mmM = 15 kN·m

σ_unten = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = −10 MPa, σᵧ = −10 MPa und τₓᵧ = −20 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

σ_x = −10 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = −60 MPa, σᵧ = −20 MPa und τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). Der Werkstoff hat eine Streckgrenze von 250 MPa. Bestimme die Sicherheit n gegen Fließen nach dem Kriterium von Tresca (Schubspannungshypothese).

σ_x = −60 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (Holz)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein einseitig eingespannter Träger ist in A eingespannt und in B gelenkig gestützt. Er trägt in Feldmitte eine Einzellast P. EI ist konstant. Bestimme den Betrag des Biegemoments M_A an der Einspannung.

L = 6 mP = 45 kN bei 3 m

M_A = kN·m

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Sie muss 15 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 15 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 952,2 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 35·1000/314,2 = 111,4 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Kupfer = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 111,4/117000 = 0,0009522 = 952,2 µε

Antwort

ε = 952,2 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 159,2 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 39,79 MPa

σ₂ = 159,2 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 159,2 MPa

Antwort

σ_max = 159,2 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 3,507 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(39000·251327) = 0,06121 rad

φ = 0,06121·180/π = 3,507°

Antwort

φ = 3,507°

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 109,3 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Durchmesser aus der Festigkeit

T = 1592 N·m = 1,592 × 10⁶ N·mm

d_τ = ∛(16·1,592 × 10⁶/(π·80)) = 46,62 mm

Durchmesser aus der Steifigkeit

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·1,592 × 10⁶/(π·26000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 109,3 mm

Maßgebender Durchmesser

Beide Grenzen müssen eingehalten werden, daher ist der größere Durchmesser maßgebend.

d = max(46,62, 109,3) = 109,3 mm

Antwort

d = 109,3 mm

Hier ist die Steifigkeit maßgebend.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: C (x = 2 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 31,67 kN, R₂ = 23,33 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 29,17, M_C = 53,33 kN·m, M_D = 47,5, M_E = 36,67, M_F = 20,83, M_G = 0

Antwort

Markierung C: M_C = 53,33 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 46 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, angreifend bei x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·4 + 8·5·2,5

R_B = 320/5 = 64 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 64 = 31 kN

Schnitt bei x = 2 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 31·2 − 8·2·1 = 46 kN·m

Antwort

M_x = 46 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 1,33 × 10⁶ mm⁴

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In Rechtecke aufteilen

Nimm den Boden über die ganze Breite und die beiden Schenkel darüber (Höhe h − t), damit nichts doppelt gezählt wird.

Grundlage: A₁ = 220·10 = 2200 mm², y₁ = 5 mm

zwei Schenkel: A₂ = 2·10·60 = 1200 mm², y₂ = 10 + 60/2 = 40 mm

Schwerpunkt

ȳ = (2200·5 + 1200·40)/3400 = 17,35 mm

Satz von Steiner

Grundlage: 220·10³/12 + 2200·(5 − 17,35)² = 354043 mm⁴

zwei Schenkel: 2·10·60³/12 + 1200·(40 − 17,35)² = 975467 mm⁴

I_x = 354043 + 975467

I_x = 1,33 × 10⁶ mm⁴ = 1,33 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 1,33 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_unten = 155,7 MPa

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127,5 mm

Steg: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·127,5 + 2400·60)/6600 = 103 mm

Satz von Steiner

Flansch: 280·15³/12 + 4200·(127,5 − 103)² = 2,609 × 10⁶ mm⁴

Steg: 20·120³/12 + 2400·(60 − 103)² = 7,308 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,609 × 10⁶ + 7,308 × 10⁶ = 9,917 × 10⁶ mm⁴

Biegespannung

Die Unterkante liegt ȳ von der Achse entfernt.

y = 103 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·103/9,917 × 10⁶ = 155,7 MPa

Antwort

σ_unten = 155,7 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 20 MPa

Radius des Mohrschen Kreises

τ_max = R = √(((−10 − −10)/2)² + −20²) = 20 MPa

Antwort

τ_max = 20 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: n = 2,795

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Fließkriterien: Nach von Mises tritt Fließen ein, wenn σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) die Streckgrenze σ_Y erreicht; nach Tresca, wenn die absolut größte Schubspannung σ_Y/2 erreicht.

Hauptspannungen

C = −40 MPa, R = 44,72 MPa

σ₁ = 4,721 MPa, σ₂ = −84,72 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 89,44 MPa

n = 250/89,44 = 2,795

Antwort

n = 2,795

n > 1 bedeutet, dass der Punkt nicht fließt; Tresca ist etwas konservativer als von Mises.

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 2,312 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 2,312 mm

Antwort

δ_max = 2,312 mm

12.Durchbiegung

Antwort: M_A = 50,63 kN·m

Stütze entfernen

Ohne die Stütze ist der Balken ein Kragarm. Sein freies Ende würde sich unter der Last durchbiegen.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Verträglichkeit an der Stütze

Die Stützkraft R_B allein hebt das freie Ende um R_BL³/(3EI) an. Die Stütze hält B bei null Durchbiegung, also müssen sich beide aufheben. EI kürzt sich heraus.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·45/16 = 14,06 kN

Moment an der Einspannung

Momente der Lasten und der Stützkraft um A.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 135 − 84,38 = 50,63 kN·m

Antwort

M_A = 50,63 kN·m

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 73,43 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/2800² = 73435 N = 73,43 kN

Antwort

P_cr = 73,43 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 30,89 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 3·15000 = 45000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·45000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 30,89 mm

Antwort

d = 30,89 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 181,3, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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