Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Aluminium unter der axialen Last.

P = 50 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 50 kNAbschnitt 1: Ø35 mm, 1 m, Messing (E = 100 GPa)Abschnitt 2: Ø12 mm, 2 m, Messing (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

In einem Torsionsversuch wird eine Vollprobe mit 15 mm Durchmesser durch ein Drehmoment von 50 N·m verdreht. Die beiden Enden einer Messlänge von 400 mm verdrehen sich um 5,91° gegeneinander (der Werkstoff ist noch elastisch). Bestimme den Schubmodul G des Werkstoffs.

T = 50 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 5,91°

G = GPa

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Hohlwelle soll 20 kW bei 3000 rpm übertragen. Ihr Innendurchmesser soll das 0,6-Fache ihres Außendurchmessers betragen, und die Schubspannung darf 75 MPa nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Außendurchmesser d_o.

P = 20 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

40 kN @ 4 m55 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

45 kN @ 0 m50 kN @ 12 m15 kN @ 4 m8 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Eine Platte von 100 mm × 300 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 40 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 180 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 100 mmh = 300 mmd = 40 mmLochmittelpunkt: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Ein symmetrischer I-Querschnitt hat Flansche mit 190 mm Breite und 16 mm Dicke, eine Gesamthöhe von 320 mm und einen Steg mit 6 mm Dicke. Er überträgt ein Biegemoment von 60 kN·m um die Achse x. Bestimme den Betrag der maximalen Biegespannung σ_max im Querschnitt.

B = 190 mmH = 320 mmt_f = 16 mmt_w = 6 mmM = 60 kN·m

σ_max = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 150 MPa, σᵧ = −30 MPa und τₓᵧ = 10 MPa (Zug positiv). Bestimme die maximale Schubspannung in der Ebene τ_max.

σ_x = 150 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

Ein Punkt in einer dünnen Platte steht unter ebenem Spannungszustand: σₓ = 70 MPa, σᵧ = 100 MPa und τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Der Werkstoff hat eine Streckgrenze von 275 MPa. Bestimme die Sicherheit n gegen Fließen nach dem Kriterium von von Mises (Gestaltänderungsenergiehypothese).

σ_x = 70 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (Aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Einzellast P im Abstand b = 1,5 m vom Auflager B. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max des Balkens.

P = 29 kNb = 1,5 mL = 6 mE = 200 GPa (Stahl)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (Aluminium)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine runde Vollstütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Sie muss 65 kN mit einer Sicherheit von 3 gegen Knicken tragen. Bestimme den kleinsten Durchmesser d.

P = 65 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (Stahl)

d = mm

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 4,547 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 50·1000/78,54 = 636,6 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 636,6/70000 = 0,009095 = 9095 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,009095·500 mm = 4,547 mm

Antwort

δ = 4,547 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 442,1 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 51,97 MPa

σ₂ = 442,1 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 442,1 MPa

Antwort

σ_max = 442,1 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: G = 39,01 GPa

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment und Winkel

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 5,91·π/180 = 0,1031 rad

Schubmodul

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·400/(4970·0,1031) = 39012 MPa

G = 39,01 GPa

Antwort

G = 39,01 GPa

Zum Vergleich: Stahl ≈ 80 GPa, Messing ≈ 39 GPa, Aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsion von Wellen

Antwort: d_o = 17,06 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 20000/314,2 = 63,66 N·m

Außendurchmesser aus der zulässigen Spannung

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·63662/(π·75·0,8704)) = 17,06 mm

d_i = 0,6·17,06 = 10,24 mm

Antwort

d_o = 17,06 mm

Eine Vollwelle bräuchte d = 16,29 mm; die Hohlwelle ist etwas größer, aber viel leichter.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: E (x = 4 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 22,5 kN, R₂ = 72,5 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 22,5, M_C = 45, M_D = 67,5, M_E = 90 kN·m, M_F = 72,5, M_G = 0

Antwort

Markierung E: M_E = 90 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: F (x = 10 m)

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 87 kN, R₂ = 87 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = −90, M_C = −22, M_D = −16, M_E = −42, M_F = −100 kN·m, M_G = 0

Antwort

Markierung F: M_F = −100 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 223,7 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat I_c = bh³/12 und ein Kreis I_c = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (30000·150 − 1257·180)/(30000 − 1257) = 148,7 mm

Volle Platte um ȳ

100·300³/12 + 30000·1,312² = 225,1 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

π·40⁴/64 + 1257·31,31² = 1,358 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 223,7 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 223,7 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_max = 62,93 MPa

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

Außenrechteck minus die beiden seitlichen Aussparungen

Beide Aussparungen zusammen sind (B − t_w) breit und h_w = H − 2t_f hoch und haben die Achse x gemeinsam.

h_w = 320 − 2·16 = 288 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·320³ − 184·288³)/12

I_x = 1,525 × 10⁸ mm⁴

Biegespannung

y = 160 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·160/1,525 × 10⁸ = 62,93 MPa

Antwort

σ_max = 62,93 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: τ_max = 90,55 MPa

Radius des Mohrschen Kreises

τ_max = R = √(((150 − −30)/2)² + 10²) = 90,55 MPa

Antwort

τ_max = 90,55 MPa

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: n = 2,011

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R. Fließkriterien: Nach von Mises tritt Fließen ein, wenn σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) die Streckgrenze σ_Y erreicht; nach Tresca, wenn die absolut größte Schubspannung σ_Y/2 erreicht.

Hauptspannungen

C = 85 MPa, R = 61,85 MPa

σ₁ = 146,8 MPa, σ₂ = 23,15 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(146,8² − 146,8·23,15 + 23,15²) = 136,7 MPa

n = 275/136,7 = 2,011

Antwort

n = 2,011

n > 1 bedeutet, dass der Punkt nicht fließt; Tresca ist etwas konservativer als von Mises.

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 3,175 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 3,175 mm

Antwort

δ_max = 3,175 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 19,82 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 29000 N, b = 1500 mm, L = 6000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Lage des Maximums

Setzt man die Neigung im längeren Abschnitt null, erhält man die Lage.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1500²)/3) = 3354 mm

Maximale Durchbiegung

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 19,82 mm

Antwort

δ_max = 19,82 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 50,13 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein Rechteck knickt um seine schwache Achse, mit der kleineren Abmessung hoch drei.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/2100² = 50131 N = 50,13 kN

Antwort

P_cr = 50,13 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: d = 59,55 mm

Erforderliche kritische Last

P_cr = n·P = 3·65000 = 195000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Nach dem Durchmesser auflösen

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·195000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 59,55 mm

Antwort

d = 59,55 mm

Kontrolle: Die Schlankheit KL/r beträgt 167,9, die Stütze ist also schlank, und Euler gilt.

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