Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Dehnung ε im Stab aus Aluminium, in Mikrodehnung (µε = 10⁻⁶).

P = 75 kNd = 25 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Ein Stab aus Stahl (Durchmesser 25 mm, E = 200 GPa, zulässige Spannung 250 MPa) steckt in einem Rohr aus Aluminium (Außendurchmesser 120 mm, Innendurchmesser 60 mm, E = 70 GPa, zulässige Spannung 50 MPa). Sie werden zwischen starren Platten zusammengedrückt. Bestimme die größte Last P_max.

Stab: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPaRohr: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Aluminium ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 400 N·md = 30 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Stahl überträgt 5 kW bei 1450 rpm. Die Schubspannung darf 40 MPa nicht überschreiten, und die Verdrehung darf 0,25° pro m Länge nicht überschreiten. Bestimme den kleinsten Durchmesser d, der beide Grenzen einhält.

P = 5 kWN = 1450 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Bestimme die Querkraft V_x im Schnitt x = 5,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 8 mw = 2 kN/m von 0 bis 8 mx = 5,5 m

V_x = kN

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Der Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P. Bestimme das maximale Biegemoment M_max im Balken.

L = 4 mP = 70 kN bei 3 mw = 12 kN/m von 0 bis 4 m

M_max = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Eine Platte von 200 mm × 300 mm hat ein kreisförmiges Loch mit dem Durchmesser 60 mm auf ihrer vertikalen Mittellinie, dessen Mittelpunkt 105 mm über der Unterseite liegt. Bestimme das Flächenträgheitsmoment I_x um die horizontale Achse durch den Flächenschwerpunkt.

b = 200 mmh = 300 mmd = 60 mmLochmittelpunkt: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 5 kN·m. Bestimme die Biegespannung σ_unten an der Unterkante.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 120 mmM = 5 kN·m

σ_unten = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

In einem Punkt gilt σₓ = 110 MPa, σᵧ = −20 MPa und τₓᵧ = 60 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_s zwischen −90° und 90° von der x-Achse zur Normalen der Ebene, in der die Schubspannung ihren größten positiven Wert +R hat (Schub positiv im gleichen Sinn wie τₓᵧ).

σ_x = 110 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 20 MPa, σᵧ = −20 MPa und τₓᵧ = −10 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 30° im Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = 20 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −10 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Kragarm der Länge L ist in A eingespannt und trägt eine Einzellast P im Abstand a = 1,5 m von A. Bestimme die Durchbiegung δ_B am freien Ende B.

P = 4 kNa = 1,5 mL = 5 mE = 11 GPa (Holz)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein einseitig eingespannter Träger ist in A eingespannt und in B gelenkig gestützt. Er trägt über seine ganze Länge eine Gleichstreckenlast w. EI ist konstant. Bestimme die Auflagerkraft R_B an der Stütze.

L = 5 mw = 4 kN/m

R_B = kN

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist unten eingespannt und oben gelenkig gelagert. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (Stahl)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden gelenkig gelagert. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (Stahl)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: ε = 2183 µε

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 75·1000/490,9 = 152,8 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 152,8/70000 = 0,002183 = 2183 µε

Antwort

ε = 2183 µε

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: P_max = 494,2 kN

Zwei Werkstoffe: In Reihe (hintereinander) trägt jedes Segment dieselbe Kraft, und die Längenänderungen addieren sich: δ = P·Σ L/(E·A). Parallel (nebeneinander zwischen starren Platten) verkürzen sich beide Teile um denselben Betrag, ihre Dehnungen sind also gleich: Das steifere Teil übernimmt den größeren Anteil, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, und σ_i = E_i·ε. Ein Stab, der zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist und am Übergang belastet wird, ist statisch unbestimmt: Die beiden Segmente teilen sich die Last im Verhältnis ihrer Steifigkeit k = EA/L.

Flächen

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Gemeinsame axiale Steifigkeit

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·8482 = 6,919 × 10⁸ N

Maßgebende Dehnung

ε = min(0,00125, 0,0007143) = 0,0007143 (Aluminium)

Größte Last

P_max = 0,0007143·6,919 × 10⁸ = 494240 N = 494,2 kN

Antwort

P_max = 494,2 kN

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 22,17 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(26000·79522) = 0,3869 rad

φ = 0,3869·180/π = 22,17°

Antwort

φ = 22,17°

4.Torsion von Wellen

Antwort: d = 31,31 mm

Drehmoment

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 5000/151,8 = 32,93 N·m

Durchmesser aus der Festigkeit

T = 32,93 N·m = 32929 N·mm

d_τ = ∛(16·32929/(π·40)) = 16,12 mm

Durchmesser aus der Steifigkeit

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·32929/(π·80000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 31,31 mm

Maßgebender Durchmesser

Beide Grenzen müssen eingehalten werden, daher ist der größere Durchmesser maßgebend.

d = max(16,12, 31,31) = 31,31 mm

Antwort

d = 31,31 mm

Hier ist die Steifigkeit maßgebend.

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: V_x = −3 kN

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, angreifend bei x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Schnitt bei x = 5,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

V = R_A − (alle Lasten nach unten links vom Schnitt)

V_x = 8 − 2·5,5 = −3 kN

Antwort

V_x = −3 kN

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_max = 70,5 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt. Maximales Moment: Wegen dM/dx = V hat das Biegemoment sein Maximum dort, wo die Querkraft durch null geht, entweder an einer Einzellast oder innerhalb einer Streckenlast.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, angreifend bei x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 70·3 + 12·4·2

R_B = 306/4 = 76,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 118 − 76,5 = 41,5 kN

Wo ist V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 5,5 kN

V(3⁺) = 5,5 − 70 = −64,5 kN

Die Querkraft wechselt an der Last das Vorzeichen, das Maximum liegt also unter der Last.

Maximales Moment

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 41,5·3 − 12·3²/2 = 70,5 kN·m

Antwort

M_max = 70,5 kN·m

Es tritt bei x = 3 m von A auf.

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: I_x = 443,4 × 10⁶ mm⁴

Querschnitte mit Löchern: Behandle ein Loch als negative Fläche. Der Flächenschwerpunkt ist ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), mit A₁, y₁ für die volle Platte und A₂, y₂ für das Loch. Verwende für das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse für jeden Teil den Satz von Steiner und subtrahiere das Loch: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), wobei d der Abstand vom eigenen Schwerpunkt jedes Teils zur Achse durch ȳ ist. Ein Rechteck hat I_c = bh³/12 und ein Kreis I_c = πd⁴/64.

Schwerpunkt

ȳ = (60000·150 − 2827·105)/(60000 − 2827) = 152,2 mm

Volle Platte um ȳ

200·300³/12 + 60000·−2,225² = 450,3 × 10⁶ mm⁴

Loch um ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−47,23² = 6,942 × 10⁶ mm⁴

Subtrahieren

I_x = 443,4 × 10⁶ mm⁴

Antwort

I_x = 443,4 × 10⁶ mm⁴

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_unten = 66,41 MPa

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

Steg: A_w = 12·120 = 1440 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·135 + 1440·60)/10440 = 124,7 mm

Satz von Steiner

Flansch: 300·30³/12 + 9000·(135 − 124,7)² = 1,638 × 10⁶ mm⁴

Steg: 12·120³/12 + 1440·(60 − 124,7)² = 7,748 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,638 × 10⁶ + 7,748 × 10⁶ = 9,386 × 10⁶ mm⁴

Biegespannung

Die Unterkante liegt ȳ von der Achse entfernt.

y = 124,7 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·124,7/9,386 × 10⁶ = 66,41 MPa

Antwort

σ_unten = 66,41 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_s = −23,65 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Im Mohrschen Kreis liegt der höchste Punkt (+R) 90° vom Hauptspannungspunkt σ₁ entfernt; am Element sind das 45°.

cos 2θ_s = 60/88,46 = 0,6783, sin 2θ_s = −65/88,46 = −0,7348

2θ_s = atan2(−65, 60) = −47,29°

Winkel am Element

θ_s = −23,65°

Probe: θ_s − θ_p = −23,65 − 21,35 = −45°

Antwort

θ_s = −23,65°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = 18,66 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = 0 + 20·0,5 + −10·−0,866 = 18,66 MPa

Antwort

σ_θ = 18,66 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_B = 15,34 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 4000 N, a = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Durchbiegung am freien Ende

Durchbiegung an der Last plus Neigung an der Last mal Restlänge.

δ_P = Pa³/(3EI) = 3,409 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,003409 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 15,34 mm

Antwort

δ_B = 15,34 mm

12.Durchbiegung

Antwort: R_B = 7,5 kN

Stütze entfernen

Ohne die Stütze ist der Balken ein Kragarm. Sein freies Ende würde sich unter der Last durchbiegen.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Verträglichkeit an der Stütze

Die Stützkraft R_B allein hebt das freie Ende um R_BL³/(3EI) an. Die Stütze hält B bei null Durchbiegung, also müssen sich beide aufheben. EI kürzt sich heraus.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·5/8 = 7,5 kN

Antwort

R_B = 7,5 kN

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 6,407 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3500² = 6407 N = 6,407 kN

Antwort

P_cr = 6,407 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 12,34 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/5 = 400

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Antwort

σ_cr = 12,34 MPa

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