Festigkeitslehre: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

Neue Aufgaben Zurück zum Kurs

Wähle im Druckfenster „Als PDF speichern“, um eine Kopie auf deinem Gerät zu behalten.

1Formeln und Methoden

Normalspannung und Dehnung

Normalspannung: σ = F/A
Dehnung: ε = ΔL/L
Hookesches Gesetz: σ = E·ε
Verlängerung: ΔL = FL/(EA)
Wärmedehnung: ε_T = α·ΔT

Torsion von Wellen

Schubspannung: τ = T·r/J
Vollwelle: J = πd⁴/32
Hohlwelle: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ)
Leistung: P = T·ω = 2πnT/60

Methode

Bestimme das polare Flächenträgheitsmoment: J = πd⁴/32 für eine Vollwelle.
Schubspannung am Rand: τ = T·r/J, mit dem Außenradius r.
Verdrehwinkel: φ = TL/(GJ) im Bogenmaß.
Ist die Leistung gegeben, bestimme zuerst das Drehmoment mit P = T·ω, ω = 2πn/60.

Querkraft und Biegemoment

Querkraft und Moment: V = ΣF auf einer Seite, M = ΣF·d auf einer Seite
Biegespannung: σ = M·y/I
Rechteck: I = bh³/12
Widerstandsmoment: W = I/y_max
Einfeldträger, Gleichstreckenlast: M_max = wL²/8

Methode

Bestimme die Lagerreaktionen aus dem Gleichgewicht des ganzen Balkens.
Schneide den Balken an der gesuchten Stelle und behalte eine Seite.
Querkraft: Summe der vertikalen Kräfte auf dieser Seite. Biegemoment: Summe ihrer Momente um die Schnittstelle.
Für das maximale Moment suchst du die Stelle, an der die Querkraft null ist.

Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Schwerpunkt: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rechteck: I = bh³/12
Satz von Steiner: I = I_c + A·d²
Zusammengesetzter Querschnitt: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Mittelpunkt: C = (σ_x + σ_y)/2
Radius: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Hauptspannungen: σ_1,2 = C ± R
Hauptrichtung: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Geneigter Schnitt: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Methode

Berechne den Mittelpunkt des Mohrschen Kreises: C = (σx + σy)/2.
Berechne den Radius: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.
Winkel im Kreis sind doppelt so groß wie die Winkel am Element: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Durchbiegung

Einzellast in Feldmitte: δ = PL³/(48EI)
Gleichstreckenlast, Einfeldträger: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kragarm, Endlast: δ = PL³/(3EI)
Kragarm, Gleichstreckenlast: δ = wL⁴/(8EI)
Überlagerungssatz: δ = δ₁ + δ₂

Knicken von Stützen

Eulersche Knicklast: P_cr = π²EI/(KL)²
Knicklängenbeiwert: K = 1 gelenkig–gelenkig, 0,5 eingespannt–eingespannt, 0,7 eingespannt–gelenkig, 2 eingespannt–frei
Kritische Spannung: σ_cr = P_cr/A
Schlankheit: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Übungsaufgaben

1.Normalspannung und DehnungMittel

Bestimme die Verlängerung δ des Stabs aus Kupfer unter der axialen Last.

P = 100 kNd = 10 mmL = 1 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Normalspannung und DehnungSchwer

Der abgesetzte Stab ist an der Wand eingespannt und an seinem freien Ende belastet. Bestimme die größte Normalspannung σ_max im Stab.

P = 65 kNAbschnitt 1: Ø40 mm, 2 m, Messing (E = 100 GPa)Abschnitt 2: Ø16 mm, 0,5 m, Kupfer (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsion von WellenMittel

Eine Vollwelle aus Stahl ist an der Wand eingespannt und wird an ihrem freien Ende durch ein Drehmoment T verdreht. Bestimme den Verdrehwinkel φ des freien Endes in Grad.

T = 250 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsion von WellenSchwer

Eine Vollwelle aus Stahl mit 30 mm Durchmesser ist in A eingespannt. In B, 3 m von A entfernt, wirkt ein Drehmoment von 750 N·m, und am freien Ende C, weitere 2,5 m entfernt, wirkt ein Drehmoment von 500 N·m im gleichen Drehsinn. Bestimme die maximale Schubspannung τ_max in der Welle.

d = 30 mmT_B = 750 N·mT_C = 500 N·mAB = 3 mBC = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Querkraft und BiegemomentMittel

Die Markierungen A bis G teilen den Balken in sechs gleiche Teile. An welcher Markierung ist das Biegemoment betragsmäßig am größten, positiv oder negativ? Klicke sie im Diagramm an.

15 kN @ 6 m12 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Querkraft und BiegemomentSchwer

Bestimme das Biegemoment M_x im Schnitt x = 2,5 m vom Auflager A. Ein Moment, das den Balken nach unten durchbiegt, ist positiv, ebenso eine Querkraft nach oben am linken Schnittufer.

L = 4 mP = 45 kN bei 1,5 mw = 6 kN/m von 0 bis 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentMittel

Ein U-Profil liegt mit der offenen Seite nach oben: eine Bodenplatte von 260 mm Breite mit zwei senkrechten Schenkeln, insgesamt 190 mm hoch. Boden und Schenkel sind alle 16 mm dick. Bestimme die Höhe ȳ des Schwerpunkts über der Unterkante.

b = 260 mmh = 190 mmt = 16 mm

ȳ = mm

8.Schwerpunkt und FlächenträgheitsmomentSchwer

Der T-Querschnitt wird als Balken mit dem Flansch oben verwendet und trägt ein positives Biegemoment von 30 kN·m. Bestimme den Betrag der Biegespannung σ_oben an der Oberkante.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mmM = 30 kN·m

σ_oben = MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationMittel

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 10 MPa, σᵧ = 70 MPa und τₓᵧ = 20 MPa (Zug positiv). Bestimme den Winkel θ_p von der x-Achse zur Richtung der größten Hauptspannung, zwischen −90° und 90°.

σ_x = 10 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

10.Mohrscher Spannungskreis & SpannungstransformationSchwer

An einem Punkt eines belasteten Bauteils gilt σₓ = 110 MPa, σᵧ = −80 MPa und τₓᵧ = 50 MPa (Zug positiv). Bestimme die Normalspannung σ_θ in einem Schnitt, dessen Normale um 30° gegen den Uhrzeigersinn aus der x-Achse gedreht ist.

σ_x = 110 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.DurchbiegungMittel

Ein Einfeldträger trägt über die ganze Spannweite eine Gleichstreckenlast w. Bestimme die maximale Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

w = 12 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (Holz)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.DurchbiegungSchwer

Ein Einfeldträger trägt eine Gleichstreckenlast w und eine Einzellast P in Feldmitte. Bestimme mit Superposition die Durchbiegung δ_max in Feldmitte.

P = 21 kNw = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (Stahl)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Knicken von StützenMittel

Eine Stütze der Länge L aus Aluminium ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme mit der Euler-Formel ihre kritische Knicklast P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (Aluminium)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Knicken von StützenSchwer

Eine Stütze der Länge L aus Stahl ist an beiden Enden eingespannt. Bestimme ihre Schlankheit und die kritische Knickspannung σ_cr nach Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (Stahl)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Lösungen

1.Normalspannung und Dehnung

Antwort: δ = 10,88 mm

Hookesches Gesetz: Im elastischen Bereich gilt σ = E·ε. Zusammen mit σ = P/A und ε = δ/L folgt δ = PL/(AE).

Spannung

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 100·1000/78,54 = 1273 MPa

Dehnung (hookesches Gesetz)

E for Kupfer = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1273/117000 = 0,01088 = 10882 µε

Verlängerung

δ = ε·L = 0,01088·1000 mm = 10,88 mm

Antwort

δ = 10,88 mm

2.Normalspannung und Dehnung

Antwort: σ_max = 323,3 MPa

Axial belastete Bauteile: Jeder prismatische Abschnitt folgt δ = PL/(AE). Bei hintereinanderliegenden Abschnitten addieren sich die Verlängerungen.

Gleiche Kraft in beiden Abschnitten

Am freien Ende greift P an, daher überträgt jeder Querschnitt des Stabs dieselbe Normalkraft P. Nur Flächen und Werkstoffe ändern sich.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 51,73 MPa

σ₂ = 323,3 MPa

Größte Spannung

Der dünnere Abschnitt hat die kleinere Fläche, daher trägt er die größere Spannung.

σ_max = 323,3 MPa

Antwort

σ_max = 323,3 MPa

3.Torsion von Wellen

Antwort: φ = 5,629 °

Torsion kreisförmiger Wellen: Die Schubspannung wächst linear von null in der Mitte bis τ_max = T·r/J an der Oberfläche, mit J = πd⁴/32 für eine Vollwelle und J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 für eine Hohlwelle. Der Verdrehwinkel ist φ = TL/(GJ) im Bogenmaß. Leistung und Drehmoment hängen über P = T·ω zusammen.

Polares Flächenträgheitsmoment

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Verdrehwinkel

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(80000·79522) = 0,09824 rad

φ = 0,09824·180/π = 5,629°

Antwort

φ = 5,629°

4.Torsion von Wellen

Antwort: τ_max = 235,8 MPa

Innere Drehmomente

Drehsinn von T_C als positiv angenommen.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 750 = 1250 N·m

Maximale Schubspannung

Der Abschnitt mit dem größten inneren Drehmoment hat die größte Spannung (gleicher Durchmesser).

|T|_max = 1250 N·m

τ_max = 16·1,25 × 10⁶/(π·30³) = 235,8 MPa

Antwort

τ_max = 235,8 MPa

5.Querkraft und Biegemoment

Antwort: D (x = 6 m)

Größtes Biegemoment: M ändert seine Steigung überall dort, wo sich die Querkraft ändert, seine Spitzen liegen also dort, wo die Querkraft null kreuzt: unter einer Einzellast, innerhalb einer Streckenlast oder über einem Auflager eines Kragarms. An einer Einspannung eines Kragarms ist das Moment an der Wand am größten. Vergleiche die Größe von M an diesen Stellen, positiv oder negativ.

Auflagerkräfte

Bilde Momente um ein Auflager und verwende dann das vertikale Kräftegleichgewicht.

R₁ = 79,5 kN, R₂ = 79,5 kN

Biegemoment an jeder Markierung

Summiere die Momente aller Kräfte auf einer Seite des Schnitts. Positiv ist ein durchhängendes Moment, negativ ein aufwölbendes.

M_A = 0, M_B = 135, M_C = 222, M_D = 261 kN·m, M_E = 222, M_F = 135, M_G = 0

Antwort

Markierung D: M_D = 261 kN·m

6.Querkraft und Biegemoment

Antwort: M_x = 36,56 kN·m

Schnittverfahren: Schneide den Balken dort, wo du die Schnittgrößen brauchst, und behalte eine Seite. Die Querkraft V hält den vertikalen Kräften dieser Seite das Gleichgewicht, das Biegemoment M ihren Momenten um den Schnitt.

Auflagerkräfte

Gleichgewicht des ganzen Balkens.

Resultierende der Streckenlast: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, angreifend bei x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·1,5 + 6·4·2

R_B = 115,5/4 = 28,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 69 − 28,88 = 40,13 kN

Schnitt bei x = 2,5 m, linken Teil behalten

Nur Kräfte links vom Schnitt erscheinen. Ein Abschnitt der Streckenlast wirkt als eine Kraft in der Mitte dieses Abschnitts.

M = R_A·x − (jede Last links vom Schnitt × ihr Abstand zum Schnitt)

M_x = 40,13·2,5 − 45·(2,5 − 1,5) − 6·2,5·1,25 = 36,56 kN·m

Antwort

M_x = 36,56 kN·m

7.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: ȳ = 62,38 mm

Zusammengesetzte Flächen: Teile den Querschnitt in Rechtecke. Der Schwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Das Flächenträgheitsmoment um die Schwerachse addiert für jeden Teil sein eigenes bh³/12 und seinen Steiner-Anteil A·d², wobei d der Abstand vom Teilschwerpunkt zum Gesamtschwerpunkt ist. Die Biegespannung ist σ = M·y/I.

In Rechtecke aufteilen

Nimm den Boden über die ganze Breite und die beiden Schenkel darüber (Höhe h − t), damit nichts doppelt gezählt wird.

Grundlage: A₁ = 260·16 = 4160 mm², y₁ = 8 mm

zwei Schenkel: A₂ = 2·16·174 = 5568 mm², y₂ = 16 + 174/2 = 103 mm

Schwerpunkt

ȳ = (4160·8 + 5568·103)/9728 = 62,38 mm

Antwort

ȳ = 62,38 mm

8.Schwerpunkt und Flächenträgheitsmoment

Antwort: σ_oben = 24,68 MPa

In zwei Rechtecke teilen

Miss jedes y von der Unterkante aus.

Flansch: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

Steg: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Schwerpunkt

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·275 + 2600·130)/11600 = 242,5 mm

Satz von Steiner

Flansch: 300·30³/12 + 9000·(275 − 242,5)² = 1,018 × 10⁷ mm⁴

Steg: 10·260³/12 + 2600·(130 − 242,5)² = 4,755 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,018 × 10⁷ + 4,755 × 10⁷ = 5,773 × 10⁷ mm⁴

Biegespannung

Die Oberkante liegt h − ȳ von der Achse entfernt.

y = 290 − 242,5 = 47,5 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·47,5/5,773 × 10⁷ = 24,68 MPa

Antwort

σ_oben = 24,68 MPa

9.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: θ_p = 73,15 °

Spannungstransformation im ebenen Spannungszustand: In einem um θ gedrehten Schnitt gilt σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt alle Schnitte auf einmal: Sein Mittelpunkt liegt bei C = (σₓ + σᵧ)/2, und sein Radius ist R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Die Hauptspannungen sind C ± R, und die größte Schubspannung in der Ebene ist R.

Winkel am Kreis

Punkt x liegt im Mohrschen Kreis unter dem Winkel 2θp zur σ-Achse; der Quadrant ergibt sich aus den Vorzeichen von σₓ − σᵧ und τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·20, 10 − 70) = 146,3°

Winkel am Element

θ_p = 73,15°

Antwort

θ_p = 73,15°

Positive Winkel zählen gegen den Uhrzeigersinn.

10.Mohrscher Spannungskreis & Spannungstransformation

Antwort: σ_θ = 105,8 MPa

Transformationsgleichung

σ_θ = 15 + 95·0,5 + 50·0,866 = 105,8 MPa

Antwort

σ_θ = 105,8 MPa

11.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 3,127 mm

Durchbiegung von Balken: Durchbiegungen erhält man durch zweimaliges Integrieren der Krümmung M/(EI). Standardfälle sind tabelliert, zum Beispiel PL³/(3EI) für einen Kragarm mit Endlast und 5wL⁴/(384EI) für einen Einfeldträger unter voller Gleichstreckenlast. Durchbiegungen aus verschiedenen Lasten addieren sich (Superposition).

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Durchbiegung

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·1500⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 3,127 mm

Antwort

δ_max = 3,127 mm

12.Durchbiegung

Antwort: δ_max = 16,96 mm

Konsistente Einheiten

Rechne in N und mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 21000 N, w = 15 N/mm, L = 4000 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Jede Last für sich

δ_P = PL³/(48EI) = 21000·4000³/(48·4,6 × 10¹²) = 6,087 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 10,87 mm

Addieren

δ_max = 6,087 + 10,87 = 16,96 mm

Antwort

δ_max = 16,96 mm

13.Knicken von Stützen

Antwort: P_cr = 2,412 kN

Knicken nach Euler: Eine schlanke Stütze wird bei P_cr = π²EI/(KL)² instabil, wobei KL die Knicklänge ist: K = 1 für gelenkig–gelenkig, 2 für eingespannt–frei, 0,7 für eingespannt–gelenkig und 0,5 für eingespannt–eingespannt. Sie knickt um die Achse mit dem kleinsten I aus. Die Formel gilt für schlanke Stützen, deren kritische Spannung unter der Streckgrenze bleibt.

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Knicklänge

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Kritische Last

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1500² = 2412 N = 2,412 kN

Antwort

P_cr = 2,412 kN

14.Knicken von Stützen

Antwort: σ_cr = 8,567 MPa

Kleinstes Flächenträgheitsmoment

Ein runder Querschnitt hat um jede Achse dasselbe I.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Trägheitsradius und Schlankheit

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/6,25 = 480

Kritische Spannung

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8,567 MPa

Antwort

σ_cr = 8,567 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials